Dynamisches Auswuchten von Impellern mit Smartphone

ePower

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Vor kurzem bin ich auf einen äusserst interessanten Thread bei RCGroups gestossen. _Sergey_ beschreibt in einem bereits 1 1/2 Jahre alten Artikel ein Verfahren, wie mit Hilfe eines Smartphones eine Impeller-Einheit - also Motor mit Impeller - dynamisch ausgewuchtet werden kann. In den letzten Tagen habe ich einen Testaufbau realisiert, mit dem ich erste Versuche mit dieser Methode gemacht habe. Mit Einwilligung von Sergey habe ich seinen initialen Artikel ins Deutsche übersetzt in der Hoffnung, dass hier ein fruchtbare Diskussion über diese mich faszinierende Lösung entsteht.

Sergey beschreibt zwei verschiedene Varianten für das dynamische Auswuchten mit Hilfe eines Smartphone. Hier zuerst einmal die erste Methode:


Dynamisches Auswuchten von Impellern mit einem Smartphone

Artikel von _Sergey_ auf RcGroups übersetzt von ePower

Original Thread RCGroups

Einführung
Wir haben es alle schon gehört – die laut heulenden Geräusche von unausgewuchteten Impellern. Es gibt sogar Fälle, in denen es Piloten verboten wurde ihre EDF-Jets wegen zu hohem Lärmpegel zu fliegen. Der erste Ratschlag ist üblicherweise, den Impeller auszuwuchten. Es gibt magnetische Balancer auf dem Markt für diese Aufgabe. Aber selbst wenn ein Impeller statisch perfekt ausgewuchtet ist macht er immer noch Lärm und die Vibrationen sind immer noch nicht weg. Grund dafür ist die Unwucht vom Motor-Rotor. Man kann den schwierigen Weg des Auswuchtens des Motor-Rotors wählen. Aber es gibt einen einfacheren Weg, um einen ruhigen, vibrationsfreien Lauf der Impeller-Einheit zu erreichen.

Dieser Artikel beschreibt Schritt für Schritt das Vorgehen, wie eine Impeller-Einheit bei Dir zu Hause dynamisch ausgewuchtet werden kann. Bevor wir in die Details eintauchen, wird ein wenig theoretische Erklärung helfen, die Art der Schwingungen einer Impeller-Einheit zu verstehen und was getan werden muss, um sie zu beseitigen.

Theorie
Um unser Ziel zu erreichen müssen wir uns das Impeller-System als eine Einheit aus Motor-Rotor und Impeller-Rotor zu sehen.

Dieses Bild zeigt eine typische Verteilung der zentrifugalen Kräfte der EDF-Einheit.

B_01.png

Die Summe der beiden Kräfte (rot) ist nicht gleich null, und genau das ist es, was die Vibrationen verursacht. Um die Vibrationen zu eliminieren, müssen wir dafür sorgen, dass die eine Kraft die andere aufhebt. Dafür sind zwei Schritte zu tun.


Schritt 1:
Die Kraftvektoren sind auf einer Linie in entgegengesetzter Richtung auszurichten. Wir müssen also die Position finden wo der schwerste Punkt des Impeller-Rotors gegenüber dem leichtesten Punkt des Motor-Rotors zu liegen kommt. Die Summe der beiden Kräfte ist so bereits viel kleiner.

B_02.png


Schritt 2:
Nun bringt man Gewicht auf der leichteren Seite der Einheit an, um die Kräfte auszugleichen. Die Summe der beiden Kräfte ist dann gleich Null, oder in anderen Worten, die beiden Kräfte heben sich gegenseitig auf und eliminieren so die Vibrationen.


B_03.png


Praktische Durchführung
Um zu zeigen, dass diese Idee funktioniert brauchte ich etwas, das die Vibrationsstärke misst und den Wert als eine Zahl ausgibt, die ich dann vergleichen kann. Die einfachste Lösung, die ich finden konnte liegt auf meiner Hand. Ein Smartphone. Aktuelle Smartphones wie das iPhone und auch Android-Handys haben Beschleunigungsmesser eingebaut. Dies ist ein perfektes Werkzeug zur Messung der Vibrationsstärke. Es gibt verschiedene Programme auf dem Markt, die die Daten des Beschleunigungsmessers sammeln und in einer Datei speichern. Ich kaufte Sensor Insider Pro für mein HTC mit Android Betriebssystem für weniger als zwei Dollar. Dieses Programm speichert die gesammelten Daten entlang aller drei Achsen in einer CSV--formatierten Datei, die ich in Excel verwenden kann für die Analyse. Das ist alles was ich brauche.

Das ist meine Einrichtung:

B_04.jpg

1. Smartphone angebracht an die Impeller-Einheit mit zwei Gummibändern
2. Laptop mit Microsoft Excel


Schritt 1
Folgend die Arbeitsschritte um den ersten Teil der dynamischen Auswuchtung zu erledigen, also das Ausrichten der Kraftvektoren auf eine entgegengesetzt verlaufende Richtung.

a) Markiere mit einer Kerbe die Lage des Motor-Rotor (= Motor-Null)
b) Markiere den Impeller-Rotor an derselben Position mit einer Kerbe, d.h. oben am Motor ist auch oben am Impeller (= Impeller-Null)
c) Starte die Aufzeichnung der Daten
d) Erhöhe allmählich die Drehzahl des Motors bis zum Maximum und ebenso wieder zurück auf Null innerhalb einer Zeit von ca. 10 Sekunden
e) Stoppe die Aufzeichnung der Daten und speichere speichere sie in einer Datei (mit einem aussagekräftigen Namen wie z.B. „Impeller-Nr-xyz-nnn-Grad“)
f) Verdrehe den Impeller-Rotor um 45° gegenüber dem Motor. Die Richtung ist nicht wichtig aber immer in die gleiche Richtung nach jedem Lauf.
g) Wiederhole die Schritte c-d-e-f bis du einen Winkel von 315° erreicht hast. Dies ist die letzte Messreihe.

All dies sollte ca. 10 Minuten Zeit benötigen. Es ist nicht wichtig bei dieser Arbeit sehr genau zu sein. Ein paar Grad mehr oder weniger ist nicht so wichtig. Lasst uns die gesammelten Daten in ein Excel Arbeitsblatt importieren und einige Berechnungen machen. In einem Spider-Diagramm können wir dann das Ergebnis ansehen.

B_05.png

Ein Blick auf die Temperatur Tabelle und das Spider-Diagramm zeigt uns, dass die minimale Vibrationsstärke 1.178 ist. Dies bei einem Winkel zwischen unseren Motor- und Impeller Null von 315 Grad.

Was bedeutet diese Informationen für uns? Das bedeutet, dass bei 315 Grad die Zentrifugakräfte des Impeller-Rotors am stärksten die Zentrifugalkraft des Motor-Rotors kompensieren. Bei ca. 315 Grad sind die zwei Kräfte auf einer Linie entgegengesetzt ausgerichtet. Die verbleibende Vibration von 1,18 ist der Unterschied der Zentrifugalkräfte zwischen dem Motor- und Impeller-Rotor. Schritt 1 ist beendet!

Schritt 2
Im Schritt 1 ermittelten wir den Winkel zwischen Impeller- und Motor-Rotor, an dem die zentrifugalen Kräfte einander entgegen wirken. In Schritt 2 finden wir die Lage an der wir mehr Gewicht anbringen müssen, damit die eine Kraft die andere komplett kompensiert. Wie machen wir das? Sie wissen bereits Bescheid – mit einem „normalen“ magnetischen Balancer! Aber wir benötigen nicht einen präzisen und teuren Balancer. Wenn Sie einen haben - super! Mein Balancer hat einen zu grossen Wellendurchmesser und ich machte mir einen Balancer aus einem Spiralbohrer und ein paar Magneten zwischen Schraubstockbacken.

Stecke nun den Impeller-Rotor auf den Balancer und versetze ihn in Drehung. Warte bis er still steht. Markiere den obersten Punkt des Rotors mit einem kleinen Punkt. Wiederhole diesen Schritt fünf Mal. Danach erkennst Du ein Gebiet mit Punkten, die nahe beieinander liegen. Genau an diesem Ort müssen wir das Zusatzgewicht platzieren.
Ich habe aus weisser Maskierfolie 6mm grosse Quadrate geschnitten. Abhängig von der Konstruktion des Rotors und der maximalen Drehzahl musst Du möglicherweise besser klebende Folie oder andere Materialien für das Gewicht verwenden, wie z.B. CA Kleber Tropfen. Mein Impeller ist ähnlich dem GWS und ich kann während den Messungen gut auf der Oberseite der Impellernabe die Folienstückchen aufkleben. Wenn die Messungen beendet sind platziere ich sie an der gleichen Stelle aber auf der Innenseite der Impellernabe.

Platziere nun den Rotor wieder den Motor und richte ihn, wie in Schritt 1 ermittelt, bei 315 Grad aus, also an der Stelle mit den minimalen Vibrationen.

a) Klebe ein Stück der Folienquadrate an die zuvor ermittelte Stelle
b) Starte die Aufzeichnung der Daten
c) Erhöhe allmählich die Drehzahl des Motors bis zum Maximum und ebenso wieder zurück auf Null innerhalb einer Zeit von ca. 10 Sekunden
d) Stoppe die Aufzeichnung der Daten und speichere sie in einer Datei (mit einem aussagekräftigen Namen wie z.B. „Impeller-Nr-xyz-nn-Gewichte“
e) Wiederhole die Schritte a-b-c-d einige Male

Nachdem ein paar Stücken Folie angebracht wurden, wirst Du einen merklichen Unterschied im Klang des Impellers hören. Ab diesem Punkt ist die Aufzeichnung der Daten fakultativ, aber ich mache es trotzdem, um das Ergebnis zu Messen. Wenn nach dem Anbringen eines weiteren Klebers die Vibrationen wieder zunehmen, entferne ich die letzte Folie und ersetze sie durch eine halb so Grosse. An diesem Punkt kann man dann so präzise sein, wie man möchte.

Lass uns nun die gesammelten Daten in Excel importieren sehen wir und das Resultat an.

B_06.png

Wir sehen, dass wir die minimalsten Vibrationen bei Aufkleber Nummer sechs erreicht hatten. Durch experimentieren mit kleineren Aufklebern zwischen den Gewichten fünf bis sieben ist es einfach, das absolute Minimum zu finden. Mit diesem Beispiel habe ich lediglich das Gewicht sieben entfernt und Gewicht sechs unverändert belassen.

Das Resultat
Was ist also das messbare Ergebnis unserer Auswucht Übung? Das Ergebnis ist erstaunlich. 91% der Vibrationen der Impeller-Einheit konnten eliminiert werden! Und dies wird erreicht ohne teure dynamische Balancer, ohne lästiges (und manchmal wirkungsloses) Rotor-Ausbalancieren, ohne Motor-Auswuchtung. Wir haben eine enorme Verbesserung mit einfachen und relativ unpräzisen Mitteln erreicht. Dieses Ergebnis zeigt auch, wie schrecklich unausgewuchtet meine Impeller-Einheit war.

Subjektiv kann ich sagen, dass ich jedes Mal, wenn ich die vier Motoren meiner A-380 auf Drehzahl bringe, nicht aufhören kann zu lächeln und geniessen, wie sie klingen. Während ich früher Angst hatte das Reklamationen wegen dem lauten Flugzeug kommen, ist es jetzt schwierig zu glaubhaft zu erzählen mit welchen Drehzahlen die Motoren bei Vollgas arbeiten. Und das realistische Jet Geräusch beim Start ist Musik in meinen Ohren. Ich bemerkte auch eine deutliche Erhöhung der Leistung der Antriebe. Das Flugzeug steigt mit Winkeln, die es zuvor niemals erreicht hatte und benötigt im Reiseflug nur noch 50% Gas gegenüber ca. 75% vor dem Auswuchten. Ich wünschte, ich hätte Schubmessungen gemacht mit den ungewuchteten Antrieben um die Ergebnisse zu vergleichen.

Zusammenfassung
Es benötigt ca. 40 – 60 Minuten um eine Impellereinheit auszuwuchten. Man kann schnell vorgehen und ein "gut genug" Resultat mit vielleicht 90% Verbesserung zu erhalten oder man kann alles präziser und detaillierter machen um das maximal mögliche heraus zu holen.
Es sind Abweichungen von dieser Methode möglich, wie zum Beispiel statt der Beschleunigungsmesser mit Mikrofon die Lautstärke zu messen oder einfach nach Gefühl vorzugehen. Es besteht keine Notwendigkeit, die Vibrationsstärke absolut zu kennen. Ziel vom Schritt 1 ist es, den Winkel zu ermitteln, bei dem die Vibrationen am kleinsten sind. Und Schritt 2 kann auch ohne Messungen gemacht werden. Du wirst es am Lächeln im Gesicht bemerken, wann Du das perfekte Gewicht erreicht hast.

Ich danke meinem Freund Dale, der mich auf die Impeller-Auswucht Idee gebracht hat, mit der dieser Lösungsweg entstand. Danke mein Freund!

Last edited by _Sergey_; Jul 22, 2010 at 02:51 PM.
 

foobar

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Hallo Norbert,

genialer Hack! Danke dir fuer die Uebersetzung; es waere vielleicht - fuer alle interessierten - noch hilfreich, wenn du einen Link zum Originalthread setzen wuerdest.
Danke und viele Gruesse,
 

ePower

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Zweite Auswuchtmethode

Zweite Auswuchtmethode

Hier noch die zweite von _Sergey_ beschriebene Methode:

Alternative Auswuchtmethode

Was wenn ... man den Rotor des Impellers nicht auf der Motorachse verdrehen kann? Er kann auf die Welle geklebt oder schlecht zugänglich sein, der Lüfter wurde bereits statisch ausgewuchtet oder Du bist allergisch auf Schraubenzieher und magnetische Balancer verursachen Dir Kopfschmerzen? Können Impeller-Einheiten trotzdem immer noch dynamisch ausgewuchtet werden? Solange die Gesetze der Physik nicht das Gegenteil beweisen ist die Antwort JA!

Und hier steht wie ...

Theorie
Werfen wir einen Blick auf die Impeller-Einheit und die Fliehkräfte im Betrieb.

B_01.png

Unausgewuchtete Impeller-Rotoren produzieren eine vom Drehpunkt (Welle) ausgehende Kraft in Richtung seines schwersten Punktes (blauer Pfeil). Unausgewuchtete Motor-Rotoren erzeugen eine eigene Kraft, die den gleichen Mittelpunkt hat und in Richtung seines eigenen schwersten Punktes wirken (grüner Pfeil). Die resultierende Kraft der Impeller-Einheit ist die Summe der beiden Vektoren (roter Pfeil). In zuvor beschriebenen Verfahren wird der Impeller-Rotor gegenüber dem Motor-Rotor gedreht, um die eine Kraft mit der anderen zu kompensieren. Aber was, wenn ... wir einfach unsere eigene Kraft zu schaffen, um die resultierende Kraft zu kompensieren?


Werfen Sie einen Blick auf das Bild unten.

B_07.png



Durch die Schaffung einer neuen Gegenkraft in unserer Impeller-Einheit können wir die vorhandene Kraft kompensieren, die für die Vibrationen verantwortlich ist. Alles, was wir machen müssen ist, an der richtigen Stelle Gegengewicht hinzuzufügen. Die Schritte bleiben die gleichen. In Schritt 1 finden wir den richtigen Ort und in Schritt 2 fügen wir richtige Menge Gewicht an, um die unerwünschte Kraft zu kompensieren.

Bevor wir mit der praktischen Umsetzung beginnen gibt es noch einen wichtigen Punkt, der seine eigene Betrachtung verdient. Wo, oder genauer gesagt, wie weit entfernt von der Mitte der Welle sollte sich das Gegengewicht befinden? Das mag klar erscheinen, aber an der falschen Stelle angebracht, kann es zu unerwarteten Konsequenzen führen. Das Problem ist, dass die Kraft, die durch eine rotierende Masse erzeugt wird, proportional zum Abstand zum Drehzentrum (Radius) ist. Mit anderen Worten, ein Gramm an der Blattspitze hinzugefügtes Gewicht, schafft eine stärkere Kraft als ein Gramm auf der Nabe angebrachtes Gewicht. Daraus können stark unterschiedliche Vibrationenstärken bei niedrigen und bei höheren Drehzahlen entstehen. Für Aussenläufer ist der richtige Ort für das Anbringen des Gewichts dort, wo die Magnete an den Rotor geklebt sind. Für Innenläufer kann die Beantwortung komplizierter, oder vielleicht viel einfacher sein, und müsste gesondert diskutiert werden.

Praktische Durchführung
Zunächst einmal müssen wir den Ort finden, wo das Gegengewicht angebracht werden muss. Wir benötigen dazu einige kleine quadratische Klebebandstückchen. Wie viele genau, wird experimentell bestimmt. Das Gegengewicht sollte einerseits klein genug sein, um nicht zu viel Belastung zu schaffen und andrerseits schwer genug, um messbare Unterschiede in der Balance zu erhalten.

Schritt 1

a) Markiere die Nabe des Impeller-Rotors mit einer Kerbe alle 45 Grad. Mache eine der Marken anders - es wird der Nullpunkt sein
b) Klebe ein Stück Folie beim Nullpunkt an
c) Starte die Datenaufzeichnung
d) Erhöhe allmählich die Drehzahl des Motors bis zum Maximum und ebenso wieder zurück auf Null innerhalb einer Zeit von ca. 10 Sekunden
e) Stoppe die Aufzeichnung der Daten und speichere speichere sie in einer Datei (mit einem aussagekräftigen Namen wie z.B. „Impeller-Nr-xyz-nnn-Grad“)
f) Entferne das Gegengewicht und bringe es bei der nächsten Markierung (+45°) an
g) Wiederhole die Schritte c-d-e-f bis Du den winkel von 315° erreicht hast. Das wird der letzte Messpunkt sein.

Das Ergebnis sollte sehr ähnlich aussehen wie das Spider Diagramm in Schritt 1 beim ersten Verfahren. Es wird eine minimaler Vibrationspunkt ersichtlich sein, an dem das Gegengewichtangebracht werden muss um die Vibrationen zu minimieren.

Schritt 2

a) Klebe ein Stück Folie am ermittelten Ort der minimalen Vibrationen auf
b) Klebe ein zusätzliches Stück Folie auf
c) Starte die Datenaufzeichnung
d) Erhöhe allmählich die Drehzahl des Motors bis zum Maximum und ebenso wieder zurück auf Null innerhalb einer Zeit von ca. 10 Sekunden
e) Stoppe die Aufzeichnung der Daten und speichere speichere sie in einer Datei (mit einem aussagekräftigen Namen wie z.B. „Impeller-Nr-xyz-nn-Gewichte“)
f) Wiederhole die Schritte b-c-d-e einige Male

Die Datenanalyse ist genau gleich wie in Schritt 2 des ersten Verfahrens.

Diese Methode ist weniger arbeitsintensiv und viel schneller als die vorherige. Keine Schraubenzieher, kein statisches Balancieren, nur Klebeband und Datenaufzeichnung.

Last edited by _Sergey_; Jul 22, 2010 at 02:51 PM.
 

ePower

User
So, ich habe den Mess- und Auswerteprozess langam aber sicher im Griff :-)

Ich habe mir diesen Testaufbau gemacht. Die (harte) Schale der Smartphone Schutzhülle musste zur einfachen Aufnahme meines Samsung zweckentfremdet werden.

FrontView_.jpg

Der ganze Mount steht auf 4 Sikikon Gel Würfeln. Ich erhoffe mir dadurch, dass sich die Vibrationen des Fans besser messen lassen. Bin aber nach den ersten Messreihen nicht mehr sicher, ob das eine gute Idee ist. Möglicherweise "schlucken" diese Gel-Würfel die Vibrationen auch.

SiliconGelMount_.jpg

Damit die Testläufe immer exakt gleich verlaufen, habe ich mir auf einem PIC eine kleine Applikation erstellt, die das Gas linear in 5 Sekunden auf das Maximum beschleunigt und auch wieder in 5 Sekunden in den Stillstand bringt. So muss ich bei den Testläufen nicht mit dem Sender hantieren.

PicDemoBoard_.jpg


Der Prozess zum Ermitteln der optimalen Ausrichtung Motor zu Rotor hat mir folgenden Spider ergeben:

Spider.jpg

Ich habe den Rotor immer um 36° verdreht, also jeweils um ein Rotorblatt. Der Spider sieht ziemlich symetrisch aus, was mich vermuten lässt, dass der Unwuchtanteil vom Motor nicht gross ist. Das Minimum der Vibrationen liegt beim Winkel von 72° (Blatt 3). In dieser Stellung sollte somit gemäss Sergey's Theorie der Unwuchtvektor des Motors genau entgegengesetzt dem Unwuchtvektor des Rotors liegen.

Im zweiten Schritt habe ich versucht, das optimale Gewicht zu finden. Eine erste Messreihe, bei der ich nach jeder Messung 4 Folienquadrate zusätzlich angebracht hatte, zeigte das Vibrationsminumum bei 20 Stückchen. Allerdings ist die gemessene Verringerung der Vibrationen "nur" knapp Fakor 2.

Weights.jpg

In einem nächsten Anlauf werde ich die Messungen mal ohne die Gel-Würfel machen. Bin gespannt auf den Unterschied.

Norbert
 
Hallo Freudi,

welches App hast für Dein IPhone gewählt? Als Nicht-Experte bin ich bei den vielen Möglichkeiten etwas überfordert.

Gruß
Jörg
 
Sali Norbert

Ich habe schon lange nichts mehr von mir hören lassen. In den letzten Monaten kam immer mal etwas zwischen mich und das Hobby. :( Danke für's übersetzen... Ich hatte den Beitrag auf dem Amiforum auch schon länger verfolgt.

Hast Du zwischenzeitlich ohne die Silikonfüsse versucht, den Vorgang zu wiederholen?

Ausserdem würd's mich interessieren, warum das langsame Hochfahren des Fans wichtig ist... Und ob das einen Unterschied macht... Ich habe ja einige (HET)-Fans, die bei einer bestimmten Drehzahl in's Resonanzschwingen kommen, aber bei WOT herrscht wieder Ruhe. Ich nehme an, besser werden die nicht.

Mit Gruess

Paco
 

ePower

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In den letzten Monaten kam immer mal etwas zwischen mich und das Hobby.
So ging es mir fast das ganze letzte Jahr :mad: Aber schön Dich auch wieder mal zu lesen :)

Die besten, reproduzierbarsten Messungen habe ich erhalten, wenn ich die Gelpads direkt an den Fan-Befestigungslaschen angebracht habe. Dies gibt dem Fan und - vermutlich das Wichtigste - nur dem Fan die Freiheit zum Schwingen.

Ausserdem würd's mich interessieren, warum das langsame Hochfahren des Fans wichtig ist...
Ich denke, da kommt es daraf an was man erreichen will. Über die gesamte Messung wird ja nur ein "Vibrationswert" ermittelt. Bei einem Dreiecksprofil fliest so der gesamte Drehzahlbereich in die Messung mit ein. Es ist aber auch möglich den "Vibrationswert" immer nur bei einer bestimmten Drehzahl zu ermitteln. Das "A" und "O" sind möglichst immer gleichbleibende Messreihen. Selbst bei den kurzen Messsequenzen verändert sich der "Vibrationswert" von Messung zu Messung nur schon wegen der jedes mal etwas geringeren Drehzahl infolge des LiPo Spannungverlaufes.

Ich habe mir deshalb vorgenommen ein nächstes mal zu prüfen, ob die Reproduzierbarkeit der Messung durch Verwendung des Gouverner Modes (z.B. jeder Lauf mit 80%) besser wird.

Gruss
Norbert
 
Auswertung der Messungen aus dem Excel

Auswertung der Messungen aus dem Excel

Hallo

Ich versuche eure Anleitung für das dynamische Wuchten der EDF in die Tat umzusetzen. Jedoch habe ich meine Startschwierigkeiten.

Kann mir jemand erklären, welche der Werte ihr aus der X;Y;Z Achsen verwendet habt?

Zum Beispiel, ein Ausschnitt aus meinem Datalog:

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Grüsse Roger
 

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  • Ausschnitt Excel DW EDF.jpg
    Ausschnitt Excel DW EDF.jpg
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ePower

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Hallo Roger

Schick mir per PN deine E-Mail Adresse. Dann schicke ich dir ein Excel Sheet von einer meiner Messreihen. Die kannst du dann als Vorlage verwenden und die CSV Dateien gleich

Es werden nur die Werte der x und z Achse benötigt. Aus diesen beiden Werten wird dann im Excel der Resultierende Vektor gerechnet. Die Werte der y Achse kannst du im App weg konfigurieren.

Gruss
Norbert
 

crutav

User
Kann mir auch jemand helfen was ich nun mit den csv dateien machen soll ... Wenn ich es in excel schmeisse hab ich gaaaaaanz viele zahlen
 
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