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  • Die Re-Zahl im physikalischen Zusammenhang

    Die Re-Zahl im physikalischen Zusammenhang

    Wolfgang Kouker
    Erstveröffentlichung 23.11.2005


    Es gibt viele Beiträge, sowohl im RCN-Forum wie im -Magazin, in denen die Re-Zahl zwar benutzt wird, die aber nie erklären, in welchem Zusammenhang sie zur betrachteten Strömung steht. Und dabei ist doch die gesamte Hydrodynamik ein Spezialgebiet der klassischen Mechanik und bei kompressiblen Strömungen der Themodynamik. Ganz weit oben stehen dabei die Newton'schen Axiome:
    1. Ein Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung, solange die Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist. (Trägheitsprinzip)
    2. Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt. (Aktionsprinzip)
    3. Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleichgroße, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio). (Reaktionsprinzip)

    Dieser Beitrag soll ein wenig das Geheimnis um die Re-Zahl lüften. Hierbei ist es unvermeidlich, auch die Mathematik zu bemühen, wobei aber versucht wird, mit den Mitteln der Oberstufenmathematik auszukommen. Nicht nur hierbei können Irrtümer auftreten, die gerne diskutiert werden können und für die auch gilt: Menschen lernen durch Versuch und Irrtum.

    Für Freunde druck- und lesbarer Dokumente gibts dies auch in Adobe PDF-Format (6 Seiten).


    Das Gleichungssystem inkompressibler Strömungen


    Strömungen rund um Flug-, Schiffs- oder Automodelle, aber auch um die Luftkutschen der Allgemeinen Luftfahrt, können als inkompressibel (d.i., die Dichte ρ der Luft ist konstant) betrachtet werden, weil typischerweise auftretende Geschwindigkeiten (z.B. die Fluggeschwindigkeit) klein sind im Verhältnis zur Schallgeschwindigkeit.

    Hierdurch vereinfacht sich das Gleichungssystem erheblich, weil die thermodynamischen Prozesse von den mechanischen Prozessen entkoppelt sind. Die bleibenden Gleichungen begründen sich auf der Impuls- und Massenerhaltung:
    (1)
    (2)

    Hier und im ganzen Artikel sind Kräfte und Impulse imme bezogen auf das Einheitsvolumen, ebenso wie die Luftdichte die Masse pro Einheitsvolumen ist. Weiterhin ist hier:
    • D/Dt die zeitliche Änderung, folgt man der Strömung. Man sitzt also auf einem Teilchen und folgt seiner Trajektorie. Diese Ansicht entspricht unmittelbar der Mechanik von Massepunkten, die durch Newton's Axiome abgeleitet ist. Entsprechend gilt nur so insbesondere das 2. Newton'sche Axiom, das in Gl. (1) unmittelbar angewandt ist, wobei die Impulsänderung (Trägheitskraft) links vom Gleichheitszeichen steht.
    • Die Schwerkraft (= -gρ) tritt nicht explizit auf. Die Einschränkung ist für Medien mit konstanter Dichte durchführbar. Dann lässt die die Schwerkraft durch einen konstanten vertikalen Druckgradienten ausdrücken [IMG]file:///C:\Users\Konrad\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.gif[/IMG], der im Term der Druckgradientkraft in (1) verrechnet ist.
    • (sprich: nabla) ist die räumliche Variation zu einem festen Zeitpunkt.
    • Die Variablen entsprechen sonst „üblicher“ Notation, [IMG]file:///C:\Users\Konrad\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.gif[/IMG]ist die Geschwindigkeit, p der Druck und μ heißt dynamische Viskosität und ist wie die Dichte ρ eine Materialkonstante.

    Die Gleichungen (1) und (2) sind vollständig zur Lösung der abhängigen Variablen Druck und Geschwindigkeit als Funktion von Zeit und Ort. In diesem Zusammenhang wird lediglich das Problem erwähnt, dass die Trägheitskraft nur für ein festes Teilchen gilt und vor Lösung der Gleichungen explizit als Funktion von Ort und Zeit transformiert werden muss.

    Nach (1) wird die Strömung bestimmt von der Druck- und Reibungskraft aufgrund der Viskosität der Luft oder des Wassers. Letztere tritt nicht auf wegen der Viskosität alleine, sondern es ist eine räumliche Variation der Scherung der Strömung erforderlich.


    Die dimensionslose Bewegungsgleichung

    Will man nun den Einfluss der Materialkonstanten ρ und μ auf die Strömung trennen von Einflüssen der räumlichen/zeitlichen Erstreckung der Strömung und der Strömungsgeschwindigkeit, so ist es sinnvoll, die Gleichungen (1) und (2) so zu formulieren, dass die variablen Größen dimensionslos sind. Hierzu wird die Strömung als Ganzes untersucht und es werden charakteristische Größen festgelegt. Üblicherweise nimmt man aus der Bauweise des Experimentes eine charakteristische Länge L (bei Flugzeugen ist dies die Flügeltiefe) und eine charakteristische Geschwindigkeit U (die Fluggeschwindigkeit).

    Die Zeitskala ergibt sich dann als T=L/U. Hiermit werden die neuen dimensionslosen Variablen wie folgt eingeführt:
    (3)
    Hier ist eine typische Druckvariation der Strömung und ihre Skalierung mit zunächst nur aus Dimensionsgründen, aber auch wegen der bekannten Relation von Bernoulli, die das Geschwindigkeits- und Druckfeld unter bestimmten Bedingungen dieses Verhältnis begründet.

    Anwendung der Transformation (3) auf (1) unter Anwendung der Kettenregel und der Konstanz von ρ und μ ergibt für die dimensionslosen gestrichenen Variablen die Bewegungsgleichung:
    (4)

    mit der Reynoldszahl:
    (5)
    und der kinematischen Viskosität ν.


    Diskussion, was soll der Quatsch?

    Zunächst erscheint die Arbeit, sich dimensionslose Bewegungsgleichungen zu beschaffen, als ziemlich unsinnig. Gleichung (4) unterscheidet sich ja nicht viel von (1). Dennoch gibt es wichtige Unterschiede:
    • Gleichung (4) unterscheidet klar zwischen dem Einfluss der Anfangs- und Randbedingungen (d.i. die dimensionslosen Differentiale der dimensionslosen Größen) und der Größenordnung des Experimentes (Re-Zahl).
    • Die Re-Zahl ist mehr als nur Maß für die Größenordnung, letzteres ist schon durch die charakteristische Länge L bestimmt. Bei gleichen Anfangs- und Randbedingungen wird Gl. (4) für gleiche Re-Zahl immer die gleiche Lösung liefern. Die gleiche Re-Zahl wird aber für prinzipiell unendlich viele Kombinationen von L, U, und ν erreicht. Umgekehrt bedeutet dies aber auch, dass bei Modellen die Eigenschaften des Originals nicht alleine durch das vorbildgetreue, maßstäbliche Nachbauen erreichbar sind: Ein Modellflugzeug im Maßstab 1:5 gebaut, das mit 20m/s statt mit den 60m/s des Originals fliegt, bewegt sich mit einer Re-Zahl Faktor 15 kleiner als das Original.

    Umgekehrt wird z.B. der Flugzeugbauer, der mit Modellen im Windkanal grundlegende Eigenschaften des Flugzeugs testen will, das Experiment so aufbauen müssen, dass ähnliche Re-Zahlen um das Modell wie um das zu erwartende Original vorliegen. Dies gelingt bei vorgegebenem Längenmaßstab durch Anpassung der Strömungsgeschwindigkeit oder in einem geschlossenen Windkanal durch ein Medium anderer Viskosität.


    Die charakteristischen Größen, reine Willkür?


    Im vorherigen Abschnitt wurden charakteristische Längen und Geschwindigkeiten (L und U) eingeführt, um die Bewegungsgleichung dimensionslos zu machen. Im Flugzeugbau ist es üblich, hierfür eine mittlere Flügeltiefe und eine typische Fluggeschwindigkeit des betrachteten Flugzeugs anzunehmen. Zunächst erscheinen diese Größen „typisch“, das Gesamtkonzept würde allerdings auch mit ganz anderen Größen funktionieren. Warum sollte für L nicht zB die Länge oder Spannweite des Flugzeugs genommen werden können? Im Prinzip ist die Frage klar mit „ja“ zu beantworten, man muss sich nur einigen.

    Es drängt sich jedoch außerdem die Frage auf: „Kann ich mit diesen charaktereristischen Größen eine grobe Abschätzung zur Dimensionierung z.B. eines (Modell)Flugzeugs durchführen?“


    Die Trägheitskraft

    Das probieren wir einfach aus und betracht zunächst die Trägheitskraft. Mit der Transformation (3) ist:
    (6)
    Hier ist von der Dimension her sicher eine Kraft, ist sie aber auch typisch für am Flugzeug auftretende Trägheitskräfte der umströmenden Luft? Das lässt sich nun leicht prüfen: Wir setzen Zahlen ein, links Modellflugzeug, rechts Sportflugzeug und setzen hier immer
    U 20 m/s 50 m/s
    L 0,4m 2 m
    U2/L 1000 m/s2 ~2000 m/s2

    Das sind also Beschleunigungen in der Größenordnung von 100 g, g = Erdbeschleunigung. Ein Modellflugzeug mit 5kg Abwurfmasse würde demnach nur etwa 50 g Luft zur Erreichung von Auftrieb in Bewegung setzen müssen. Das sind ca. 0,05 m³ oder bei 2m Spannweite und 1m² Flügelfläche 0,05 m = 5 cm Luftschicht um den Flügel herum. Das glaubt nun niemand!


    Die Druckgradientkraft

    wurde in (3) kurzerhand aus einer Dimensionsbetrachtung mit Hilfe von U dimensionslos gemacht. Beschreibt denn für den Flugbetrieb charakteristische Druckverhältnisse? Das ist genauso schnell wie bei der Trägheitskraft mit nein beantwortet: Das Modellflugzeug mit 20 m/s Fluggeschwindigkeit würde eine Druckvariation von 400 Pa (Pascal) hervorrufen. Zum Tragen dieses Flugzeugs (5kg Abwurfmasse) würde demnach eine Flügelfläche von ca 0,1 m² ausreichen. Das ist noch nicht da gewesen!


    Schlussfolgerung hieraus

    Die zunächst aus der Praxis einleuchtenden Maßzahlen für eine charakteristische Länge und Geschwindigkeit erweisen sich als untauglich, um typische Kräfte aus der Bewegungsgleichung abzuleiten. Das erlaubt die Frage, ob denn nicht die Willkür dieser Maßzahlen zu einem formal guten Ergebnis führt, aber dennoch für den Flugbetrieb untauglich ist. Letzteres begründet sich damit, dass genau dadurch in Gl. (4) nicht die Re-Zahl alleine die Größenordnung der bestimmenden Terme der Bewegungsgleichung bestimmt, wie dieses Kapitel zeigte. Das soll nun erörtert werden.


    Ein Rettungsversuch

    Daher soll in diesem Abschnitt die Frage behandelt werden: „Gibt es physikalisch besser interpretierbare Größen als die bisher genannten?“

    Sitzen wir in einem Flugzeug, beobachten wir eigentlich nur eine große Geschwindigkeit, die Fluggeschwindigkeit, sichtbar z.B. an vorbeihuschenden Wolken. Eine Störung dieser Anströmung ist kaum wahrnehmbar, sie ist aber dafür verantwortlich, dass das Flugzeug überhaupt fliegt. Daher sollte versucht werden, diese Störung alleine zu untersuchen und die praktisch konstante Anstömung (die Fluggeschwindigkeit) hierbei möglichst außen vor zu lassen. Formal schreiben wir daher für die Geschwindigkeit in (1):
    (7)
    Hier ist die konstante Fluggeschwindigkeit und die Geschwindigkeit durch die Störung, die das Flugzeug hervorruft. c wird hier wie die „Natur“konstanten Dichte und Viskosität geführt. Das Vektorsymbol für c wird aus Bequemlichkeitsgründen nicht geführt. Hierbei gilt, dass das Mittel über das vom Flugzeug beeinflusste Gebiet der Strömung,
    ist, so dass also
    Mit diesem Grundgerüst gehen wir erneut ins Rennen und versuchen, eine Skalierung des Flugbetriebs zu finden, bei der eine dimensionslose Bewegungsgleichung die dortigen Kräfte realitätsnäher auf den Flugbetrieb anwendbar ist. Als Sollmaß für Kräfte, die dem Flug Realitätsnähe bringen sollen, ist die Gewichtskraft des Flugzeugs, für die die Störung der Strömung eine Auftriebskraft gleicher Größe liefern muss (3. Newton'sche Axiom).


    Die Druckgradientkraft

    Die Überlegungen im vorherigen Abschnitt legen nahe, zunächst die Fluggeschwindigkeit als typische Geschwindigkeit der Strömung in Frage zu stellen. Daher wird umgekehrt vorgegangen und wir nehmen (3) zu Hilfe, um zur Bestimmung einer charakteristischen Geschwindigkeit U zu gelangen, aber diesmal von also der vom Flugzeug verursachten Störung der Anströmung (vgl. 7). Nimmt man wieder das Modellflugzeug mit 5kg Abwurfmasse (= 50 N Startgewicht) und 1 m² Flächeninhalt, so beträgt die Größenordnung der Druckvariation zum Tragen des Flugzeugs = 50 Pa. Mit (3) erhält man daraus eine charakteristische Geschwindigkeit von

    Mit gleicher Überlegung wird eine neue charakteristische Länge L als Wurzel der das Flugzeug tragenden Fläche bestimmt, hier ist demnach L = 1 m.


    Die Trägheitskraft

    Da c konstant, schreibt sich die Trägheitskraft unmittelbar als

    In (3) ist jedoch die Skalierung der Zeit T = L/U wieder an U gebunden. Dies ist nun wenig sinnvoll: die Zeit, die der Luft bleibt, vom Flugzeug gestört zu werden, hängt viel eher an der Fluggeschwindigkeit. Nach Überwindung der charakteristischen Länge L sind die zu beeinflussenden Luftteilchen vom Strömungsgebiet des Flugzeugs weg. Daher wird die Zeit T wie vorher mit der Fluggeschwindigkeit skaliert:
    und damit wird in (3) (8)

    Gleichung (6) wird somit zu:
    (9)
    womit eine Größenordnung der Trägheitsbeschleunigung von ca 150 ms-2 abgeschätzt wird. Eine so beschleunigte Luftmasse von ca. 300g (entspricht etwa 0,3 m³) ist somit in der Lage, ein Modellflugzeug von 5 kg Masse zu tragen. Verteilt über der Flügelfläche von 1 m² entsprechen die 0,3 m³ somit einer mittleren vertikalen Luftschicht von 30 cm, was erheblich realistischer erscheint als das vorherige Ergebnis.


    Die Viskositätskraft

    Aus Gl (1) folgt unmittelbar, dass die Viskositätskraft für die konstante Anströmung genau wegen der diesmal räumlichen Konstanz c Null ist. Sie ist also ausschließlich abhängig von der vom Flugzeug erzeugten Störung der Strömung mit der charkteristischen Geschwindigkeit im Beispiel von U = 7 ms-1

    Hier wird am unmittelbarsten deutlich, dass die Fluggeschwindigkeit als charakteristische Geschwindigkeit für den Flugbetrieb nur auf den ersten Blick natürlich ist, diese aber keine Abschätzung erlaubt, eine charakteristische Größenordnung der Viskositätskraft abzuschätzen.


    Die Reynoldszahl

    Die Einführung der „Natur“konstanten Fluggeschwindigkeit führt zunächst aus (1) zu der gleichen dimensionslosen Bewegungungsgleichung (4) wie die vormalige Methode. Allein die dortige Re-Zahl ist nicht anders, aber:
    (10)
    Die Fluggeschwindigkeit dort erscheint nicht aus subjektiven Überlegungen zur Charakterisierung der Strömung, sondern als nicht verhandelbare Größe wie die Viskosität. Der einzig verhandelbare Parameter ist somit L. Die hier vorgenommene Variation als Wurzel der Flügelfläche statt der Flügeltiefe führt nicht zu grundlegenden Veränderungen der Schlussfolgerung:


    Schlussfolgerung hieraus

    Die in diesem Abschnitt ermittelten charakteristischen Größen für U und L, in die auch grundlegende flugphysikalische Überlegungen eingingen, erlaubt hieraus unmittelbar eine Abschätzung der im Flugbetrieb auftretenden Kräfte. Die Größenordnung der dimensionslosen Größen in (4) wird damit 1, so dass die Reynoldszahl physikalisch das Verhältnis aus Trägheitskraft und viskoser Reibungskraft ist:
    (11)

    Diese Interpretation gilt für die klassische Charakterisierung der Länge über die Flügeltiefe ebenso wie die leichte Variation im Beispiel. Diese bringt keine anderen Größenordnungen der Strömungsverhältnisse.


    Fazit

    Die Reynoldszahl ist ein entscheidender Parameter, neben Anfangs- und Randbedingungen, zur Beschreibung einer Strömung und sollte, ausgehend von den einfachen Prinzipien der Mechanik, abgeleitet werden. Hieraus folgt, dass eine Skalierung im Modellbau in der Regel nicht zu ähnlichen Strömungseigenschaften führt, da die Maßstabsbildung alleine die Re-Zahl systematisch verändert.

    Die hier gezeigten Beispiele beziehen sich auf große Reynoldszahlen: Die Trägheitskraft ist groß im Verhältnis zur Reibung, eine Balance wird daher weitgehend bestimmt von Druckgradient- und Trägheitskraft.

    Strömungen kleiner Re-Zahlen, z.B. Rohrströmung viskoser Flüssigkeiten (die Spritleitung) sind hier nicht behandelt, sie werden jedoch bestimmt von der Balance aus Druckgradient- und Reibungskraft.


    Quellenangaben

    Der Text stützt sich weitgehend auf „Batchelor, G. K., An introduction to fluid mechanics, Cambridge University Press, 2000“, Kapitel „Dynamic similarity and the Reynolds Number“

    Die Diskussionsbeispiele (Modell)Flugzeug sind, wie die Einführung in die Strömungsrechnung, für diese Anwendung selbst erfunden und stehen gerne zur Debatte.
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