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  • SPITZENFLÜGEL – FLÜGELSPITZEN

    Spitzenflügel – Flügelspitzen

    Wieviel Streckung macht Sinn?

    Bernhard Rögner
    Erstveröffentlichung 24.06.2003


    Wer kennt sie nicht, diese wunderbaren modernen Segelflugzeuge und Superorchideen, die alle Segelflieger dieser Welt, aber auch viele Modellflieger begeistern? Schlank und rank sind diese Dinger und jeder ist von ihrer Form und Grazie beeindruckt.
    Schade ist nur, dass diese Hochleistungssegler oftmals im Modell nicht ganz so funktionieren, wie man sich das wünscht.

    Um etwas Licht in die vielleicht unklaren Verhältnisse zu bringen sei hier ein Versuch gestartet, die Zusammenhänge zwischen geometrischen Maßstäben und aerodynamischen Gegebenheiten zu erklären. Dies geht nicht ganz ohne Mathematik, aber ich werde versuchen, es so einfach als möglich darzustellen.

    Der Einfluss der Re-Zahl

    Eine erste und wichtige Erkenntnis ist, dass ein geometrisch maßstabgetreu gebautes Modell keine maßstäblichen Strömungsverhältnisse bei seiner Umströmung erreicht, sondern gänzlich andere. Die Strömungsverhältnisse um geometrisch ähnliche Körper sind nur dann ähnlich, wenn die Re-Zahlen (Reynoldszahlen) gleich sind. Um das Ergebnis vorwegzunehmen: Modelle sind in Hinblick auf ihre Flugleistung immer schlechter als ihre Vorbilder.

    Die Re-Zahl ist eigentlich eine Art Maßstab für den Vergleich der Umströmung eines Körpers, wenn dieser in einem flüssigen oder gasförmigen Material bewegt wird. Sie errechnet sich aus:



    In dieser Formel steht „v“ für die Fluggeschwindigkeit (einzusetzen in m/s), „l“ steht für eine charakteristische Länge (in Metern) – es ist dies bei Tragflügeln jeweils deren Tiefe. Das Formelzeichen „ν“ (Nü) steht für die kinematische Zähigkeit des Mediums, das einen Körper umströmt (angegeben in m2/s).

    Während v und l keiner weiteren Erklärung bedürfen, muss auf die kinematische Zähigkeit noch näher eingegangen werden. Bewegen sich Gegenstände in Flüssigkeiten oder Gasen, so werden einzelne Schichten dieser Medien gegeneinander verschoben und es kommt zu Reibungswiderstand zwischen diesen Schichten. Man denke zum Beispiel an den spürbaren Unterschied beim Umrühren einer mit Honig gefüllten Tasse im Vergleich zur Tasse mit dem Morgenkaffee. Was hier spürbar wird, ist physikalisch gesehen die dynamische Viskosität (Zähigkeit). Für Flüssigkeiten nimmt mit steigender Temperatur die Zähigkeit ab. Versierte Modellbauer, die schon mal mit Epoxydharzen Teile laminiert haben wissen, dass die Harze bei entsprechender Raumtemperatur dünnflüssiger sind und damit leichter zu verarbeiten als bei vielleicht tiefen Temperaturen im Bastelkeller. Bei Gasen ist ein umgekehrter Effekt zu beobachten. Ihre Zähigkeit nimmt mit steigender Temperatur zu. Das Verhältnis zwischen der Zähigkeit (der dynamischen Viskosität) und der Dichte des Gases oder der Flüssigkeit wird kinematische Zähigkeit (ν) genannt. Für Luft ist sie bei einer Temperatur von 15° C und einem Luftdruck von 1013,2 hPa 0,00001438 m2/s. Für Wasser ist sie bei 20° C 0,000001 m2/s. Luft hat also eine etwa 14 mal höhere kinematische Zähigkeit als Wasser, ihre dynamische Viskosität ist aber sehr viel kleiner als die des Wassers.

    Ohne tiefer in die Zusammenhänge einzusteigen, ist zunächst nur wichtig, dass uns bewusst wird, dass bei kleinen Re-Zahlen an Flügelprofilen größerer Luftwiderstand auftritt als bei höheren Re-Zahlen. Wird die Re-Zahl immer weiter verringert, so wird irgendwann die „kritische Re-Zahl“ erreicht, wo der Widerstand so stark zunimmtt, dass das Profil nicht mehr richtig „funktioniert“. Bei kleinen Re-Zahlen kommt es auch vermehrt zu laminaren Ablöseblasen, die eine erhebliche Verschlechterung der Flugleistung bewirken.

    Es interessiert uns nun, in welcher Größenordnung die Re-Zahl bei Modellflugzeugen liegt. Wir gehen davon aus, dass die kinematische Zähigkeit der Luft bei ihrem Standardwert von 0,00001438 m²/s unverändert beibehalten wird, also lediglich die Fluggeschwindigkeit und die Flügeltiefe als charakteristische Länge die Re-Zahl beeinflussen.

    Die Fluggeschwindigkeit eines Modells lässt sich vereinfacht nach folgender Formel berechnen:



    Die unter dem Wurzelzeichen stehende Flächenbelastung G/S ist dabei in [kg/m²] einzusetzen. Für den Gesamtauftriebsbeiwert cA des Flügels setzen wir „1“ ein, was einen durchaus realistischen Wert für den Flugzustand bei geringster Sinkgeschwindigkeit darstellt. Damit kann die Formel weiter vereinfacht werden und wir erhalten für die Fluggeschwindigkeit in m/s folgendes Ergebnis:



    Für verschiedene Flächenbelastungen und Flügeltiefen kann nun die jeweilige Re-Zahl berechnet werden. Im von mir beschriebenen Beispiel wurden Flächenbelastungen von 30 bis 100 g/dm² und Flügeltiefen von 50 bis 350 mm angenommen. Die Ergebnisse sind aus dem Diagramm ersichtlich.



    Die im Diagramm waagerechte rote Linie für Re=80.000 soll uns zunächst als Grenzwert für die kritische Reynoldszahl dienen, die jedoch für jedes Profil einen anderen Wert hat. Man kann aber davon ausgehen, dass unterhalb eines Werts von 60.000 fast immer ein unterkritischer Strömungszustand und über 100.000 ein überkritischer Zustand vorliegt. Bei der unterkritischen Strömung ist der entstehende Auftrieb gering und der Widerstand unverhältnismäßig groß. Es ergibt sich also ein unerwünschter Zustand, bei dem die Gleitzahl total „in den Keller“ fällt. Das Diagramm zeigt, dass bei geringen Flächenbelastungen und damit ver-bundenen geringen Fluggeschwindigkeiten ganz besonders auf eine nicht zu geringe Flügel-tiefe geachtet werden muss. Da nur wenige unserer Modelle Tragflügel mit rechteckigem Grundriss haben, sind die Flächentiefen in Randbogennähe oft so gering, dass es hier zu problematischen Verhältnissen im Langsamflug kommen kann. Oftmals ist der unerwartete Strömungsabriss oder ein unberechenbares Flugverhalten die Folge. Bei Modellen, die in ihrem äußeren Flügelteil Tiefen unter 150 mm aufweisen, muss jedenfalls mit solchen Erscheinungen gerechnet werden, vor allem dann, wenn ihre Flächenbelastung gering ist. Abhilfe bei auftretenden Problemen können Turbulatoren bringen, die die Strömung in den betroffenen Bereichen turbulent und damit energiereich machen. (In turbulenter Strömung erfolgt ein Energieaustausch auch senkrecht zur Strömungsrichtung, was bei laminarer Strömung nicht der Fall ist. Anm. d. Red.).

    Wenn also maßstabsgetreu gebaut wird, kann unter Umständen die Außentiefe des Flügels bereits unterkritisch umströmt werden, und zwar bei kleinen Modellen früher als bei großen.

    Aus dem nachfolgenden Diagramm ist ersichtlich, wie sich mit zunehmender Streckung und anwachsender Spannweite gleichzeitig die jeweilige Flügeltiefe verringert, wenn die Flügelfläche gleich bleibt. Die Werte für die Streckung sind auf der y-Achse aufgetragen. Auf der x-Achse ist die jeweilige Spannweite angegeben, die mit zunehmender Streckung eine parabelförmige Zunahme erfährt. Auf der rechten, senkrechten Achse sind die zur jeweiligen Spannweite gehörigen Flügeltiefen angegeben, für die sich ein hyperbelförmiger Verlauf ergibt. Zusätzlich wurde die Größe der mittleren Tiefe eines flächengleichen Flügels mit elliptischem Grundriss eingezeichnet.



    Flügelgrundrisse

    Verhalten von Tragflügeln bei hohen Auftriebswerten.

    Je mehr der Anstellwinkel eines Flügels erhöht wird, um so größer wird der Auftrieb, bis er den maximal möglichen Auftriebsbeiwert cAmax.. erreicht. Da das gesamte wirksame cA von der Verteilung der einzelnen Beiwerte ca und der jeweiligen Flügeltiefe abhängig ist, ergibt sich je nach Grundrissform an unterschiedlichen Stellen der Zustand, dass das lokale ca rechnerisch einen Wert erreichen müsste, der jenseits des maximal möglichen des Flügelprofils liegt. Der lokal wirksame Anstellwinkel ist größer als der für den maximalen Auftriebsbeiwert, damit ist also der überzogene Flugzustand an dieser betrachteten Flügelstelle erreicht. Auch wenn einzelne Teile des Flügels nicht mehr „arbeiten“, ist durchaus noch Auftrieb vorhanden und das Flugzeug muss noch lange nicht vollständig überzogen sein.

    Welche Teile des Flügels zuerst Ablöseerscheinungen der Strömung erfahren, zeigt das nachfolgende Bild in schematischer Darstellung.



    Wie gut ersichtlich ist, hat der aerodynamisch günstigste Flügelgrundriss (der elliptische Grundriss, der eine elliptische Auftriebsverteilung aufweist) das ungünstigste Überziehverhalten. Die Strömung beginnt, sich über die gesamte Spannweite gleichmäßig abzulösen. Am besten schneidet der Flügel mit rechteckigem Grundriss ab, da die ersten Ablösungen der Strömung in der Nähe des Rumpfs erfolgen, die Strömung an den Flügelenden dagegen wesentlich länger „gesund“ bleibt. Das Flugzeug wird also bei der Annäherung an den überzogenen Flugzustand länger um die Längsachse steuerbar bleiben. Wie im vorigen Abschnitt ausgeführt wurde, ist bei einer gleichbleibenden Flügeltiefe auch die Re-Zahl von der Wurzel bis zur Flügelspitze unverändert und damit ist keine Gefahr für lokale unterkritische Strömung gegeben. Stark zugespitzte Trapezflügel und Deltas haben hingegen das Problem, dass die Re-Zahlen nach außen hin stark abfallen.


    Einfluss des Seitenverhältnisses - Streckung

    Neben der Grundrissform ist für die Strömungsvorgänge an Flügeln ihr Seitenverhältnis sehr entscheidend. Das heißt, dass es nicht gleichgültig ist, ob wir einen gedrungenen oder schlanken Flügel verwenden, auch wenn deren Flächeninhalte die gleichen wären. Der Schlankheitsgrad eines Flügels wird Flügelstreckung Λ (Lambda) genannt.

    Bei einem Flügel mit rechteckigem Grundriss ist der Schlankheitsgrad leicht bestimmbar, indem das Verhältnis zwischen Spannweite und Flügeltiefe gebildet wird. Je größer also die Spannweite, um so größer die Streckung (bei gleicher Profiltiefe). Für alle anderen Grundrissformen ändert sich jedoch die Tiefe längs ihrer Spannweite. Um dieser Tatsache gerecht zu werden, wird die Spannweite quadriert und durch den Flächeninhalt des Flügels dividiert.

    Flügelstreckung ist gleich dem Quotienten aus dem Quadrat der Spannweite, dividiert durch die Flügelfläche



    Dass diese Formel richtig ist, kann leicht nochmals am Rechteckflügel nachgewiesen werden:



    Eine große Flügelstreckung ergibt aerodynamisch wirtschaftlich arbeitende Flügel. Das Verhältnis zwischen Auftrieb und Widerstand ist groß, weil der Druckausgleich zwischen Flügelunterseite und -oberseite sehr weit außen erfolgt. Der Druckausgleich verursacht den induzierten Widerstand. Diese Aussagen sollen hier genügen. Auf aerodynamische Details wird nicht weiter eingegangen. Jedenfalls erreicht ein Flügel mit großer Streckung bei gleichem Anstellwinkel einen besseren Auftriebsbeiwert als der Flügel mit kleiner Streckung.



    Das nächste Diagramm zeigt den Zusammenhang zwischen dem Auftriebsbeiwert cA eines Flügels und dessen Streckung bei verschiedenen Anstellwinkeln.



    Alle Kurven steigen mit zunehmender Flügelstreckung an. Dieser Anstieg zeigt, wie sich ein Flügel hinsichtlich seiner Leistung mit zunehmender Streckung verbessert. Allerdings wird die Leistungszunahme mit zunehmender Streckung immer geringer. Dabei ist auch noch zu bemerken, dass die Abflachung der Kurven bei kleinen Anstellwinkeln, also hohen Fluggeschwindigkeiten, früher einsetzt als bei hohen Anstellwinkeln, die dem Langsamflug entsprechen. Für den Segelflieger sind die beiden oberen Kurven von besonderem Interesse, da sie am ehesten dem hauptsächlich geflogenen Geschwindigkeitsbereich entsprechen. Unter Λ=10 tritt eine deutliche Verschlechterung auf und über Λ=30 ist kaum mehr eine Leistungssteigerung zu erwarten.

    Sinnvoll sind daher Streckungswerte um 20, zumal ja die Flügeltiefen nach außen hin, wenn es sich um Trapezflügel handelt, mit größer werdender Streckung schnell sehr klein werden und die Re-Zahlen dort unter Re-kritisch fallen könnten.


    Festigkeitsprobleme

    Zwei Fragen stellen sich:
    • Wie ändert sich das Biegemoment an der Flügelwurzel?
    • Welche Festigkeit muss der Holmwerkstoff haben, um die Biegekräfte bei geänderter Streckung zu tragen?


    ERHÖHUNG des BIEGEMOMENTS an WURZEL




    Bei einer Zunahme der Streckung bei konstanter Fläche ändert sich das Moment an der Flügelwurzel zwar zu einem geringeren Prozentsatz, als es der Streckungszuwachs ist. Bei einer Verdopplung der Streckung nimmt das Biegemoment nur um etwa 40% zu. Allerdings reduziert sich die Tiefe des Flügels merklich, womit auch die Profildicke abfällt. Damit wird die Bauhöhe für den Holm eingeschränkt. Die im Holm auftretenden Spannungen ändern sich daher wieder linear mit der Streckung. Dies erfordert eine Neugestaltung der Holmkonstruktion oder die Verwendung festerer Werkstoffe, wie das nächste Bild zeigt.



    Zusammenfassung

    • Streckungen für Segelflugmodelle über 20 bis 25 sind wenig sinnvoll – der dabei erzielbare Auftriebszuwachs ist unbedeutend.
    • Im Schnellflug, bei kleinen Auftriebsbeiwerten, haben große Streckungen noch weniger Einfluss als bei einem Einsatzprofil nahe dem Höchstauftrieb.
    • Grosse Streckungen reduzieren die Flügeltiefen und können zu Re-Zahlen führen, bei denen die Flügel unterkritisch umströmt werden, was zu einem Versagen der Aerodynamik der Flügel führen kann. Je kleiner und leichter dabei das Modell ist, umso früher kann dies eintreten.
    • Starke Zuspitzung von Tragflügeln kann aufgrund der geringen Flügeltiefen im Außenbereich dieselben Erscheinungen bewirken. Zudem wird mit zunehmender Zuspitzung das Abreißverhalten eines Flügels verschlechtert.
    • Gepfeilte Flügel zeigen ebenso ein verschlechtertes Abreißverhalten.
    • Die in den Bauteilen auftretenden Werkstoffbeanspruchungen steigen linear mit der Zunahme der Streckung.


    Literaturverzeichnis:
    (1) Dipl.Ing. Dr. Ernst Zeibig: Vorlesung Luftfahrzeugbau –HTBLVA Wien I, 1970/71
    (2) F.W. Schmitz: Aerodynamik des Flugmodells – Luftfahrtverlag Axel Zuerl, 7.Auflage 1983
    (3) Kuchling: Taschenbuch der Physik, 16 Auflage – Fachbuchverlag Leipzig 1996
    Kommentare 3 Kommentare
    1. Avatar von grobmotoriker
      grobmotoriker -
      Interessanter Beitrag. Auch wenn ich auf Anhieb nicht alles verstanden habe, ein paar Grundsätze habe ich für mich herausgefiltert :-)
    1. Avatar von Konrad Kunik
      Konrad Kunik -
      Moin gm,

      Zielsetzung bei Dir erreicht...
    1. Avatar von akafly
      akafly -
      Ich wollte mich gerade beim Lesen zurücklegen, da war der Artikel auch schon zu Ende. Ich erinnere mich schwach an einen Artikel ca. Anfang der 80er Jahre in der "modellbau heute" (DDR), da wurden nach ähnlichen Betrachtungen weiterführend anhand des damals neuen E211 quantitative Auswertungen für die optimale Flügelstreckung für die einzelnen Flugaufgaben an F3B Modellen aufgezeigt.

      Im digitalen Konsumzeitalter ist man froh, wenn die Artikel der Wegbereiter mal wieder ausgebraben werden.
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