Die Abwicklung, das unbekannte Wesen

Eckart Müller

Wer braucht denn sowas?

Möglicherweise die Jettis, die EDFler und noch einige andere.

Jedenfalls alle, die Abgasrohre, Ansaugkanäle und ähnliches bauen wollen oder müssen. Meist wird sich dann mit Papp- oder Papiermustern beholfen, die notdürftig dem „Versuch-und-Irrtum“-Verfahren folgend an die erforderliche Form angenähert werden. Entsprechend behelfsmäßig und wenig professionell sehen die Ergebnisse dann häufig leider aus. Das geht auch anders, nämlich gekonnt und exakt.
Das Problem ist lediglich die Rückführung einer dreidimensionalen Körperoberfläche in eine zweidimensionale Darstellung, also eine Transformation. Leider hat man aber nicht die dreidimensionale Oberfläche zur Verfügung. Hätte man die, so könnte man mit einer Schere das Ding aufschneiden, flachdrücken und hätte umgehend das, was man braucht, die Abwicklung. Dann wären alle Abstände der Körperoberfläche in wahrer Länge auf der abgewickelten Darstellung zugänglich.
Meist ist die Ausgangslage aber bescheidener. Es gibt nur die Kenntnis des Anfangs- und Endquerschnitts und bestenfalls eine Zeichnung der räumlichen Gegebenheiten. Aber gepaart mit dem nötigen Fachwissen genügt das schon, um eine hinreichend genaue Lösung des Problems zu ermöglichen.

Wie bereits erwähnt, sind die “wahren Längen” der Schlüssel zur Lösung der gestellten Aufgabe. Liegen zwei Punkte in der Zeichenebene oder ist die Verbindung zweier Punkte parallel zur Zeichenebene, dann kann in der Zeichenebene die „wahre Länge“ des Abstands der beiden Punkte mit dem Zirkel abgegriffen oder mit einem Lineal gemessen werden. Die Zeichenebene ist im Allgemeinen das Blatt Papier, auf dem gemalt, gezeichnet oder konstruiert wird.

Möglicherweise ist dem Einen oder Anderen aus dem Geometrieunterricht noch in Erinnerung, dass ein Dreieck, dessen drei Seiten bekannt sind, eindeutig bestimmt ist. Diesen Grundsatz machen wir uns zu Nutze, indem wir den Mantel des Übergangskörpers so geschickt in Dreiecke zerlegen, dass wir die wahren Längen ihrer Seiten unmittelbar bestimmen können, um daraus dann Schritt für Schritt die Abwicklung des Mantels zu konstruieren. Dieses „Kunststück“ vollbringen wir mit den einfachsten nur denkbaren Hilfsmitteln. Ohne Trigonometrie, ohne Taschenrechner oder gar PC. Nur mit einem Blatt Papier, einem spitzen Bleistift, einem Lineal oder Geodreieck und einem Zirkel „bewaffnet“ gehen wir das Problem an. Auf geht’s...


Abb. 1

Abb. 2

Abb. 3

Abb. 4


Abb. 5


Abb. 6


Abb. 7

Abb. 8


Abb. 9


Abb. 10


Abb. 11


Abb. 12


Abb. 13

Vorbereitung

Zuerst zeichnet man den abzuwickelnden Körper in Grund- und Aufriss. Sinnvollerweise im Maßstab 1:1. (Abb. 1, zum Vergrößern kleine Darstellung anklicken!)

Wahre Längen der Mantellinien

Mit dem Radius r schlägt man Kreisbögen um die Schnittpunkte C, F und I der Mittellinie mit dem großen Kreis und erhält so die Punkte D,E,G und H. (Abb. 2)

Die Geraden DM, EM, GM und HM verlängert man über M hinaus bis zum zweiten Schnitt mit dem kleinen Kreis. So erhält man auch hier die 12er-Teilung des Kreisumfangs.

Die Geraden I1, H12, G11 usw. bis C7 sind Mantellinien eines geraden Kreiskegelstumpfes, die Geraden A1 bis A4, sowie B4 bis B7 sind Mantellinien eines Teils eines schiefen Kreiskegels. (Abb. 3)

Die Mantellinien B4 bis B7 werden um B gedreht bis sie parallel zur Aufrissebene Ea verlaufen. An der Geraden B5 wird das beispielhaft demonstriert. Parallelität wird durch // gekennzeichnet. Man schlägt dazu in der Grundrissebene Eg um B einen Kreisbogen mit dem Radius B5. Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit der Parallelen zur Aufrissebene Ea durch den Punkt B ist der Punkt 5’ (Abb. 4). Dieser Punkt wird in den Aufriss gelotet. Die Strecke B5’ im Aufriss ist die wahre Länge der Mantellinie B5. Ebenso ermittelt man die wahre Länge der Mantellinie B4. Aus Symmetriegründen ist B6 gleich B5 und B4 gleich B7, sowie A1 bis A4 gleich B4 bis B7. Folglich hat man hier nur zwei unterschiedliche Mantellinien zu bestimmen. (Abb. 4)

Im Bereich des geraden Kreiskegels gibt es glücklicherweise ebenfalls nur zwei Mantellinien, deren wahre Längen zu bestimmen sind. Eine, die Mantellinie I1 bzw. C7, liegt bereits parallel zur Aufrissebene Ea, kann also unmittelbar dem Aufriss entnommen werden.

Mit der Felddiagonalen H1 verfährt man ebenso, wie oben am Beispiel von B5 bereits beschrieben. Die Strecke H1 wird in der Grundrissebene Eg um H gedreht, bis sie parallel zur Aufrissebene Ea liegt. Der Punkt I’ wird in den Aufriss gelotet. Im Aufriss ist die Strecke H1’ die wahre Länge der Mantellinie H1.

Damit sind alle erforderlichen Mantellinien bestimmt.

Hilfsgrößen bestimmen

Jetzt fehlen nur noch zwei Größen, die aber nicht konstruiert sondern lediglich abgegriffen werden müssen. Es sind dies Sehnen aus den beiden Kreisen bzw. Kreisbögen, z. B. die Sehne S1 und die Sehne S2. (Abb. 2)

Die bisher konstruierten Mantellinien werden mit den Sehnen zur Abwicklung des Mantels des Übergangskörpers zusammengefügt. Die Längendifferenz zwischen Sehne und Kreisbogen ist hier unerheblich.

Abwicklung konstruieren

Die Strecke AB wird im Aufriss abgegriffen. Um die Punkte A und B schlägt man jeweils einen Kreis mit dem Radius der wahren Länge der Strecke A4 (Abb. 5). Diese wahre Länge wird nach dem gleichen Schema ermittelt, wie oben am Beispiel der wahren Länge der Strecke B5 gezeigt.

Rechter Teil der Abwicklung
Um Punkt B schlägt man einen Kreis mit dem Radius der wahren Länge der Strecke B5, also mit B5’ (Abb. 6).

Um den Punkt 4 schlägt man einen Kreis mit dem Radius S2 aus Abb. 2. Der Schnittpunkt des Kreises um Punkt 4 mit dem Kreis um Punkt B ist ein weiterer Punkt der Abwicklung und entspricht dem Punkt 5 im Grundriss (Abb.3).

Um Punkt B schlägt man einen weiteren Kreis mit dem Radius der wahren Länge der Strecke B6. Wegen der Symmetrieverhältnisse ist die Mantellinie B6 gleich der Mantellinie B5, also ist der Radius gleich B5’ (Abb. 7).

Um Punkt 5 schlägt man wieder einen Kreis mit dem Radius der Sehne S2. Der Schnittpunkt der Kreise um Punkt 5 und Punkt B liefert den Punkt 6 (Abb. 7).

Um Punkt 6 schlägt man erneut einen Kreis mit dem Radius der Sehne S2. Um Punkt B schlägt man, wie zu Beginn, wieder einen Kreis mit dem Radius B4. Der Schnittpunkt der Kreise ist der Punkt 7 der Abwicklung (Abb. 8).

An die Seite B7 muss nun das Dreieck BC7(Abb. 3) angesetzt werden. Die Strecke BC ist grundrissparallel, kann also sofort in wahrer Länge aus dem Grundriss abgegriffen und übertragen werden und ergibt so den Radius des Kreises um B.

Die Strecke C7 ist hingegen aufrissparallel und kann daher ebenfalls in wahrer Länge dem Aufriss entnommen werden. Mit dieser Größe schlägt man nun einen Kreis um den Punkt 7.

Der Schnittpunkt der Kreise ergibt den Punkt C der Abwicklung (Abb. 9).

Die Mantellinien und Felddiagonalen eines geraden Kreiskegels sind alle gleich. Dieser Umstand erleichtert die Arbeit insofern, als nur ein einziges Kegelmantelsegment konstruiert werden muss. Die restlichen Segmente brauchen nur kopiert zu werden. Ein solches Kegelmantelsegment wird aus zwei zu konstruierenden Dreiecken zusammengesetzt.

Das erste Dreieck besteht aus der Sehne S1, der Seite C7 (bereits vorhanden) und der Seite D7, deren wahre Länge der von H1’ entspricht.
S1 wird für das mitlerweile geläufige Verfahren bei Punkt C angetragen, die wahre Länge von D7 an Punkt 7. Der Schnittpunkt ergibt den Punkt D(Abb. 10).

Das zweite Dreieck ergibt sich aus der Sehne S2 an Punkt 7 angetragen und der Mantellinie C7 aus der Abwicklung. Damit erhält man den Punkt 8 (Abb. 11).

Das Viereck CD78 ist 1/6 des Kreiskegelstumpfmantels. Daher ergänzt man an dieser Stelle die Abwicklung noch um zwei weiter Vierecke (Abb. 12).

Linker Teil der Abwicklung
So, wie bis hierhin beschrieben, erfolgt auch die Konstruktion der linken Hälfte der Abwicklung, indem man bei Punkt A mit der Konstruktion beginnt und entsprechend fortfährt. Oder mit einer geeigneten Methode einfach die rechte Seite spiegelbildlich kopiert.

Das Ergebnis der Mühe ist die Abwicklung des Übergangskörpers (Abb. 13). Übergangskörper heißt dieses Gebilde, weil es den Übergang von einem Querschnitt (kreisförmig) zu einem anderen Querschnitt (halbkreisförmig und eckig) bildet. Für Puristen und Haarspalter: Dies ist eine graphische Näherungslösung des Problems. Für Modellbauerfordernisse ist die Genauigkeit allerdings völlig ausreichend.

 

Bei Fragen oder anderen Unklarheiten einfach eine Mail an mich:
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Dieser Artikel ist ebenfalls in FMT, April 1999, Seite 106ff. nachzulesen.

 

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