Lastannahmen für Modellflugzeuge

Christian Ückert (Yeti)

Ein Moment, bitte!

Realistische Lastannahmen sind die Grundvoraussetzung für effektiven Leichtbau. Schließlich will man einen Rumpf oder Flügel nicht für Lasten auslegen, die im realen Betrieb niemals auftreten und damit das Flugzeug überdimensionieren; andererseits möchte man aber auch sicher gehen, dass die Struktur allen Lasten, die innerhalb des normalen Betriebsbereiches auftreten, stand hält. Und hier haben wir auch schon das erste Problem: Was alles gehört zum "normalen" Betriebsbereich? Bei den "manntragenden" Flugzeugen hat man dieses Problem nicht: Was ein Flugzeug aushalten können muss, regeln die Bauvorschriften, nach denen das Flugzeug zugelassen werden soll. Der Konstrukteur hat hier "nur noch" den Nachweis zu erbringen, dass alle Punkte dieser Bauvorschriften erfüllt werden. Bauvorschriften für Modellflugzeuge gibt es nicht, und so muss sich der Modellbauer die Festigkeitsanforderungen selber aufstellen.

Neben der Frage, ob das Modell hält oder nicht, interessiert auch die Art und die Verteilung der Belastungen: Was nutzt ein völlig überdimensionierter Außenflügel, wenn die Schwachstelle an der Flügelwurzel liegt? Oder massive Holmgurte aus einer irrwitzigen Anzahl von Kohlerovings, wenn die Verklebung der Gurte mit dem Holmsteg versagt? Das Ganze lässt sich durch eine geschickte Konstruktion auch ohne hemmungslose Verschwendung von Kohlefasern in den Griff bekommen; vorausgesetzt, man kennt die Belastungen.

Manch einer wird den mit den Berechnungen verbundenen Aufwand für übertrieben halten oder aus Prinzip seinem Gefühl mehr vertrauen als einer Rechnung. Das muss letztendlich jeder für sich entscheiden. Mir persönlich wäre es auf jeden Fall die Mühe wert, bevor sich die Arbeit von vielen hundert Arbeitsstunden in der Luft zerlegt. Und bevor ich mein halbes Vermögen in Hochmodul-Kohlefasern oder sonstiges High-End-Material investiere, möchte ich wenigstens wissen, warum.

Grundlagen

Alle, die sich etwas mit den Grundlagen technischer Mechanik und Flugmechanik / Aerodynamik auskennen, können diesen ersten Teil überspringen. Für alle anderen hole ich etwas weiter aus.

Ein Flugzeug wird durch Massen- bzw. Trägheitskräfte, Luftkräfte und andere äußere Kräfte belastet. Generell gilt, dass die Trägheitskräfte (innere Kräfte) mit den äußeren angreifenden Kräften im Gleichgewicht sind. Im stationären Geradeausflug ist der Auftrieb genau so groß wie das Gewicht. Das Lastvielfache n beträgt in diesem Fall 1. Verdoppelt sich der Auftrieb, wird das Flugzeug nach oben beschleunigt, das Lastvielfache steigt auf 2. Das Lastvielfache ist also das Vielfache der Last beim horizontalen Geradeausflug. Ein erhöhtes Lastvielfaches tritt ganz allgemein bei Änderungen der Bewegungsrichtung des Flugzeuges auf, z.B. beim Abfangen aus dem Sturzflug, beim Hochziehen aus dem Horizontalflug, im Kurvenflug oder bei einem Looping...

Nicht nur Luftkräfte können für die Beschleunigungen verantwortlich sein, sondern z.B. auch Fahrwerkskräfte bei der Landung, Handkräfte (z.B. beim Wurf eines Modells oder bei einem SAL-Start), Kräfte durch eine Hindernisberührung und selbstverständlich bei allen motorisierten Flugzeugen die Antriebskräfte. Bei einem Windenstart eines Segelflugmodells können die Luftkräfte ebenfalls ein Vielfaches der Gewichtskraft betragen. Ihnen stehen dann aber keine zusätzlichen Trägheitskräfte infolge einer Beschleunigung entgegen, sondern die Seilkraft.

Die Gewichtskraft G ist selbst die Folge einer Beschleunigung, denn jede Masse ist der Erdbeschleunigung (9,81 m/s²) ausgesetzt. Die Einheit der Kraft heißt "Newton" (N). Die Definition der Einheit "Newton" ergibt sich aus dem Impulssatz (Kraft = Masse * Beschleunigung). Ein Newton ist die Kraft, die erforderlich ist, um eine Masse von einem kg um 1 m/s pro Sekunde zu beschleunigen. Die Gewichtskraft einer Masse von einem kg, beträgt demnach 1 kg * 9,81 m/s² = 9,81 N. Im alltäglichen Sprachgebrauch wird das Gewicht oft in Kilogramm angegeben. Masse wird also mit Gewicht gleichgesetzt, was physikalisch nicht korrekt ist. Man mag es für Erbsenzählerei halten, aber bei den folgenden Betrachtungen sollten wir tunlichst auf den Unterschied von Masse und Kraft achten, immerhin liegt zwischen den Werten fast der Faktor 10.

Betrachten wir als nächstes die Luftkraft. Sie ist die Resultierende einer Druckverteilung über der Oberfläche des Flugzeuges. Diese Resultierende lässt sich in zwei Komponenten aufteilen: Eine Komponente in Richtung der Anströmung, genannt Widerstand, und eine Komponente senkrecht zur Anströmrichtung, den Auftrieb. Wir vernachlässigen hier den Widerstand und betrachten nur den Auftrieb. Statt die Druckverteilung über dem Profil zu betrachten, kann man so tun, als würde der Auftrieb nur in einem einzigen Punkt angreifen. Dieser Punkt heißt Druckpunkt. Er hat die für Berechnungen unangenehme Eigenschaft, in Abhängigkeit vom Anstellwinkel des Flügels vor und zurück zu wandern. Bei größer werdendem Anstellwinkel wandert er nach vorne, bei kleiner werdendem Anstellwinkel nach hinten. Da es die Berechnungen erschwert, wenn man es mit einem veränderlichen Kraftangriffspunkt zu tun hat, macht man sich die Sache mit einem kleinen Trick einfacher: Man tut so, als würde der Auftrieb immer im selben Punkt angreifen und berücksichtigt die Verschiebung des Auftriebes in diesen festen Punkt durch ein Moment. Erfreulicherweise lässt sich am Profil ein Angriffspunkt für den Auftrieb finden, um den unabhängig vom Anstellwinkel immer das selbe Moment wirkt. Diesen Punkt, der bei einem Viertel der Profiltiefe liegt, nennt man Neutralpunkt.

Der Auftrieb und das Moment lassen sich mit Hilfe der Geschwindigkeit (V), der Luftdichte (rho), der Flügelfläche (S) und Flügeltiefe (l), und den Beiwerten aus den Profilpolaren (Auftriebs-, und Momentenbeiwert: ca und cm) bestimmen. Die Gewichtskraft ergibt sich aus der Masse (m) und der Erdbeschleunigung (g). Am besten ist es, alle Größen in den Standardeinheiten einzusetzen, damit man nicht mit den Größenordnungen durcheinander kommt. Also alle Längen in Metern, Flächen in Quadratmetern, Volumen in Kubikmetern, Massen in Kilogramm, Geschwindigkeiten in Metern pro Sekunde und Beschleunigungen in Metern pro Sekunde zum Quadrat. Dann erhält man automatisch die Kräfte in Newton und Momente in Newtonmetern. Bei einem Mix aus Kilometern pro Stunde für die Geschwindigkeit, Millimetern für die Länge und Gramm für die Masse, was bei einem Modellflugzeug eigentlich näher liegt, gibt es schnell ein heilloses Durcheinander, wenn man die erforderlichen Umrechnungsfaktoren vergisst oder falsch einsetzt.

Der Momentenbeiwert cm ist bei einem gewölbten Profil immer negativ, so dass sich auch für das Moment ein negativer Wert ergibt. Ein negatives Moment ist definitionsgemäß ein kopflastiges Moment. Der Standardwert für die Luftdichte ist übrigens 1,225 kg/m³ und die Erdbeschleunigung g wie weiter oben schon einmal erwähnt 9,81 m/s² (wenn man der Einfachheit halber lieber mit einem Wert von 10 m/s² rechnet, ist es in der Regel aber völlig ausreichend).

Lastverteilung

Jetzt haben wir eigentlich alles zusammen, was wir zum Aufstellen der Lastannahmen benötigen. Da uns nicht die Gesamt-Kraft interessiert, die auf das Flugzeug wirkt, sondern die Verteilung der Lasten, wenden wir die Gleichungen nicht auf das ganze Flugzeug an, sondern wir teilen den Flügel in mehrere kleine Abschnitte auf. Es drängt sich dabei quasi auf, die Gleichungen in ein Tabellenkalkulationsprogramm zu tippen oder ein kleines Programm zu schreiben, da für jeden Abschnitt des Flügels die selben Rechenschritte erforderlich sind. Je mehr Abschnitte wir benutzen, desto genauer wird das Ergebnis. Dafür steigt aber auch der Rechenaufwand. 10 Abschnitte sollten es schon sein, mehr als 20 sind aber auch nicht erforderlich, denn wir müssen uns ohnehin mit einer gewissen Unsicherheit zufrieden geben, die sich infolge vereinfachender Annahmen oder Schätzungen ergibt. Da Flugzeuge in der Regel symmetrisch sind, reicht es aus, die Lasten nur für eine Hälfte des Flügels zu bestimmen.

Das nächste Bild zeigt die Kräfte, die an einem einzelnen Flügelabschnitt der Breite b wirken:

Wir setzen voraus, dass die Fluggeschwindigkeit, das Lastvielfache und der Auftriebsbeiwert für den betrachteten Flugzustand bekannt sind (dazu später mehr). Dann können wir mit Hilfe der Auftriebs- und Momentengleichung den Auftrieb A und das Moment M um den Neutralpunkt berechnen. Die Fläche des Flügelabschnitts erhalten wir durch Multiplikation der Breite b mit der mittleren Flügeltiefe l des Abschnitts. Beim Gewicht des betrachteten Flügelabschnitts sind wir erst mal auf eine Schätzung oder auf Erfahrungswerte angewiesen, denn wie schwer der Flügel nachher wird, ergibt sich ja erst nach der Dimensionierung. Wer sich ganz viel Mühe geben will, rechnet am Ende noch einmal von vorne mit dem Gewicht, das sich aus der Dimensionierung ergibt, und überprüft, wie gut die erste Schätzung war. Andererseits ist es aber so, dass ein höheres Gewicht des Flügels zu kleineren Lasten führt, da das Produkt aus Gewicht und Lastvielfachem dem Auftrieb entgegen wirkt. Wir liegen also auf der sicheren Seite, wenn wir bei der ersten Schätzung ein zu kleines Gewicht ansetzen. Auch den Schwerpunkt des Flügelabschnittes kennen wir zunächst noch nicht und müssen schätzen. Man wird wohl nicht allzu falsch liegen, wenn man den Schwerpunkt knapp vor der Mitte des Flügelabschnitts annimmt. In einem Fall sollten wir allerdings genauer hinschauen: Wenn wir ein mehrmotoriges Flugzeug entwerfen, sollten wir das Gewicht der Motorgondeln berücksichtigen und den Schwerpunkt in dem entsprechenden Flügelabschnitt auch weiter vorne ansetzen.

Sobald der angenommene Schwerpunkt nicht mit dem Neutralpunkt zusammenfällt, erzeugt das Gewicht ebenfalls ein Moment um den Neutralpunkt. Man erhält dieses Moment, indem man das Gewicht mit dem Abstand des Neutralpunkts vom Schwerpunkt multipliziert. Dabei gilt die selbe Vereinbarung des Vorzeichens: Das Moment hat einen positiven Wert, wenn der Schwerpunkt hinter dem Neutralpunkt liegt (schwanzlastig) und einen negativen Wert, wenn der Schwerpunkt vor dem Neutralpunkt liegt (kopflastig). Man sieht, dass es im Zweifelsfall sicherer ist, den Schwerpunkt des Flügelabschnittes zu weit vorne zu schätzen, da ein schwanzlastiges (positives) Moment infolge der Gewichtskraft dem kopflastigen (negativen) aerodynamischen Moment entgegenwirkt. Haben wir den Schwerpunkt zu weit hinten geschätzt, ergibt sich dann in der Summe beider Momente zumindest bei positiven Lastvielfachen ein zu kleiner Wert.

Wenn wir uns auf ein Gewicht und einen Schwerpunkt geeinigt haben, können wir die beiden Kräfte und Momente zusammenfassen. Das Ganze machen wir der Reihe nach mit allen Flügelabschnitten.

Wenn wir die Berechnung für alle einzelnen Flügelabschnitte fertig gestellt haben, erhalten wir eine Verteilung der örtlichen Querkräfte q und Torsionsmomente mT entlang der Spannweite. Das obige Bild zeigt das Ergebnis für einen aus drei Abschnitten bestehenden Flügel. Die Bezugsachse für die Torsionsmomente ist dabei die Verbindungslinie der einzelnen Neutralpunkte, die auch l/4-Linie genannt wird.

Für die Dimensionierung brauchen wir aber nicht nur die Verteilung der örtlichen Kräfte und Torsionsmomente, da wir die einzelnen Abschnitte nicht nur für sich allein betrachten dürfen. Jeder Flügelabschnitt muss auch die Kräfte und Momente der in Spannweitenrichtung weiter außen liegenden Flügelabschnitte übertragen. Wir müssen also die örtlichen Kräfte und Momente zu Resultierenden zusammenfassen. Zur Unterscheidung bezeichne ich die Resultierenden mit Großbuchstaben, während für die örtlichen Lasten Kleinbuchstaben verwendet werden. Betrachten wir zunächst die resultierende Querkraft Q in jedem Flügelabschnitt:

An der Flügelspitze wirkt nur die Querkraft des äußeren Abschnittes. Somit ist die resultierende Querkraft Q1 gleich der örtlichen Querkraft q1. Der zweite Flügelabschnitt wird belastet durch die Querkraft des ersten Abschnittes q1 und durch die im zweiten Abschnitt wirkende örtliche Querkraft q2. Der dritte Abschnitt durch die Kraft des ersten, zweiten und dritten Abschnittes, usw. Wir erhalten also die resultierende Kraft in einem beliebigen Flügelabschnitt aus der Summe der eigenen und aller außerhalb wirkenden Einzelkräfte. Wenn wir mit der Berechnung an der Flügelwurzel angekommen sind, muss die Gesamtkraft so groß sein wie der Auftrieb des gesamten Flügels abzüglich des Gewichtes des gesamten Flügels. Wir können an dieser Stelle auch ganz einfach kontrollieren, ob wir uns irgendwo grob verrechnet haben. Denn die Gesamt-Querkraft an der Wurzel muss etwa halb so groß sein wie das Gewicht des Rumpfes (beim Gewicht immer auch das Lastvielfache berücksichtigen!). Schließlich müssen beide Flügel zusammen ja das Gewicht des Rumpfes tragen. Als Differenz bleibt nur noch der Auftrieb oder Abtrieb am Leitwerk, also nicht erschrecken, wenn man nicht genau den Wert erreicht. Außerdem schleichen sich ja auch immer dadurch Fehler ein, dass wir innerhalb eines Flügelabschnittes mit einem konstanten Auftriebsbeiwert rechnen. Wenn man bei dieser Kontrolle allerdings auf deutliche Differenzen stößt, sollte man doch besser noch mal nachschauen, ob man sich nicht irgendwo verrechnet hat.

Mit dem resultierenden Torsionsmoment MT verfahren wir ebenso. Jeder Flügelschnitt wird nicht nur durch das dort wirkende, sondern auch durch alle weiter außen liegenden Einzelmomente belastet.

Die einzelnen Querkräfte der Flügelabschnitte führen nicht nur zu einer Gesamtkraft, sondern auch zu einem Biegemoment Mb in den weiter Richtung Flügelwurzel liegenden Abschnitten. An der Flügelspitze ist das Biegemoment noch Null. Im zweiten Abschnitt erhält man das Biegemoment aus der Kraft des ersten Abschnitts und ihrem Abstand zum zweiten Abschnitt. Im dritten Abschnitt setzt sich das Biegemoment zusammen aus der Kraft, die im ersten Abschnitt wirkt, multipliziert mit dem Abstand zwischen dem ersten und dritten Abschnitt zuzüglich der Kraft des zweiten Elementes multipliziert mit dem Abstand zwischen zweitem und dritten Abschnitt, usw. An der Flügelwurzel müsste man also alle Einzelkräfte, multipliziert mit ihrem jeweiligen Abstand, zusammenzählen. Bei 20 Flügelabschnitten eine Menge Rechnerei und eine recht hohe Wahrscheinlichkeit, sich irgendwo zu vertippen. Aber es geht auch einfacher: Man erhält das gleiche Ergebnis, wenn man zum Biegemoment des benachbarten Abschnittes das Biegemoment addiert, dass sich aus der Gesamtkraft des benachbarten Abschnittes und dem Abstand zum benachbarten Flügelabschnitt ergibt. Alles klar? Vermutlich nicht, und deshalb noch eine Skizze:

Damit hätten wir dann die in allen Flügelabschnitten wirkenden Belastungen beisammen: die resultierende Querkraft, das resultierende Torsionsmoment und das Biegemoment. Alle? Nicht unbedingt. Bei der Berechnung des Torsionsmomentes sind wir von einer geraden Bezugslinie (l/4-Linie) ausgegangen. Wenn das der Fall ist, sind wir an dieser Stelle fertig. Haben wir es hingegen mit einem gepfeilten Flügel zu tun oder mit einer geknickten l/4-Linie, müssen wir noch etwas nachsitzen, denn durch die Pfeilung ergibt sich noch eine zusätzliche Torsionsbelastung, die den zuvor ermittelten Torsionsmomenten noch hinzugefügt werden muss. Hier kann ich mich aber kurz fassen, denn die Berechnung dieses zusätzlichen Torsionsmomentes funktioniert genauso wie die Berechnung des Biegemomentes. Nur, dass wir nicht den Abstand der einzelnen Abschnitte in Spannweitenrichtung berücksichtigen, sondern den Abstand in Richtung der Profiltiefe. Alles Weitere sollte die folgende Skizze klären:

Das V-n Diagramm

Jetzt haben wir aber wirklich alles, was wir brauchen und können uns der anfänglichen Frage zuwenden, welche Flugzustände wir bei den Lastannahmen berücksichtigen wollen. Hierauf eine allgemeingültige Antwort zu geben, ist sicherlich nicht möglich, denn es hängt ganz entscheidend davon ab, was wir mit dem Modell später alles anstellen wollen. Ein Thermiksegler muss lange nicht für so hohe Lastvielfache und Geschwindigkeiten ausgelegt werden wie ein F3-B Modell, ein Kunstflugmodell oder ein Pylon-Modell. Deshalb soll an dieser Stelle nur die prinzipielle Vorgehensweise erläutert werden, die dann jeder auf seinen speziellen Fall anwenden kann.

Der zulässige Betriebsbereich eines Flugzeuges lässt sich im sogenannten V-n-Diagramm darstellen. Es stellt die Begrenzung des zulässigen Lastvielfachen (n) über der Geschwindigkeit (V) dar. Das folgende Bild zeigt ein solches Diagramm.

Die roten Kurven stellen die Begrenzung aller zulässigen Kombinationen von Geschwindigkeit und Lastvielfachem dar. Alles, was innerhalb der roten Umgrenzung liegt, ist der "zulässige Betriebsbereich". Aber schauen wir uns das Diagramm Stück für Stück an und beginnen an der linken Seite. Wenn die Geschwindigkeit Null ist, kann auch kein Auftrieb erzeugt werden. Folglich ist auch das erreichbare Lastvielfache gleich Null. Wir folgen jetzt der oberen roten Kurve bis zum Punkt E. Erhöht man die Geschwindigkeit, erhöht sich auch der erreichbare Auftrieb. Bei einer bestimmten Geschwindigkeit, die am Punkt E erreicht ist, reicht der maximal mögliche Auftrieb gerade für ein Lastvielfaches von 1. Die zugehörige Geschwindigkeit ist die Mindestgeschwindigkeit des Flugzeuges.

Weiter geht's entlang der roten Kurve bis zum Punkt A. Mit wachsender Geschwindigkeit nimmt auch der maximal mögliche Auftrieb zu und damit das maximale erreichbare Lastvielfache. Da der Auftrieb mit dem Quadrat der Geschwindigkeit zunimmt, hat die Kurve hier einen parabelförmigen Verlauf. Bei einer Geschwindigkeit, die doppelt so groß ist wie die Mindestgeschwindigkeit, kann also bereits der vierfache Auftrieb und damit ein Lastvielfaches von 4 erzeugt werden. Alle Punkte, die auf diesem Teil der Kurve liegen, stellen das Lastvielfache dar, das sich bei der jeweiligen Geschwindigkeit und beim maximal möglichen Auftrieb einstellt (also beim maximalen Auftriebsbeiwert CA-max, den man aus der Profilpolare ablesen kann). Aufgrund des parabelförmigen Verlaufs wächst das erreichbare Lastvielfache bei höheren Geschwindigkeiten immer schneller, wie die gestrichelte rote Linie zeigen soll, so dass wir irgendwann mal eine Grenze setzen müssen. Diese Grenze ist am Punkt A erreicht. Diesen Punkt können wir auf zwei verschiedene Arten festlegen. Entweder wir begrenzen das maximale Lastvielfache und bestimmen mit Hilfe der Auftriebsformel die zugehörige Geschwindigkeit oder wir legen eine Geschwindigkeit fest, bis zu der das Flugzeug in der Luft unzerstörbar sein soll und bestimmen daraus das zu dieser Geschwindigkeit gehörende Lastvielfache, wobei wir für den Auftriebsbeiwert immer den maximalen Auftriebsbeiwert CAmax einsetzen. Für einen Großsegler wird man wohl eher die zweite Methode anwenden, während man z.B. für F3-B Segler oder Pylon-Modelle eher die Geschwindigkeit festlegt, bis zu der man noch bei CAmax unterwegs sein will (z.B. bei Speedwenden). Wer unbedingt meint, ein Flugzeug besitzen zu müssen, das in der Luft völlig unzerstörbar ist, wählt für den Punkt A einfach die erreichbare Endgeschwindigkeit im senkrechten Sturzflug bei Vollgas. Aber nicht, dass sich hinterher jemand beschwert, wenn in den Flügel keine Servos mehr hineinpassen, weil die Holmgurte den Flügel komplett ausfüllen...

Alle anderen, die es eher etwas gemächlicher angehen lassen und die lieber ein paar Gramm sparen wollen, folgen der oberen Kurve bis zum Punkt B. Hier liegt die Höchstgeschwindigkeit des Modells. Bei höheren Geschwindigkeiten als am Punkt A sollte man tunlichst einen etwas sanfteren Flugstil an den Tag legen, denn in diesem Geschwindigkeitsbereich wäre es durchaus möglich, durch einen Höhenruder-Vollausschlag mehr Auftrieb zu erzeugen als dem Modell gut tut. Digitale Höhenruderausschläge sollte man sich also hier besser verkneifen. Ob man das zulässige Lastvielfache konstant auf dem Niveau vom Punkt A hält, oder ob man sich bei Höchstgeschwindigkeit auch mit einem geringeren Lastvielfachen zufrieden gibt, wie im oberen Diagramm dargestellt, ist Ermessenssache und hängt von der Selbstbeherrschung ab, die man im tiefen Vorbeiflug bei Höchstgeschwindigkeit noch aufbringen kann. Diejenigen, die aufgrund des Adrenalinausstoßes in solchen Momenten zu nervösen Zuckungen am Höhenruderknüppel neigen, sollten ihrem Modell zuliebe lieber den Punkt A etwas weiter in Richtung der Maximalgeschwindigkeit verschieben. Auch starke Turbulenz sollte man in diesem Geschwindigkeitsbereich meiden, denn auch durch den Einflug in einen starken Aufwind vergrößert sich der Anstellwinkel und damit der Auftrieb.

Weiter geht es auf der Unterseite des Diagramms. Am Punkt C befinden wir uns im Rückenflug. Er gibt das maximal zulässige negative Lastvielfache bei Höchstgeschwindigkeit an. Bei Kunstflugmodellen wird der untere Teil des Diagramms symmetrisch zum oberen Teil verlaufen, während wir für alle anderen Flugzeuge ein geringeres Lastvielfaches ansetzen können. Ein symmetrisches V-n Diagramm erhalten wir sowieso nur mit symmetrischen Profilen, während gewölbte Profile nicht so viel Abtrieb wie Auftrieb liefern können. Folgen wir der Kurve weiter nach links zum Punkt D. Ab hier können wir uns wieder beruhigen, denn selbst, wenn wir bei dieser Geschwindigkeit den Höhensteuerknüppel an den vorderen Anschlag schieben, sollte es das Modell heile überstehen. Mit einem parabelförmigen Verlauf nimmt das maximal erreichbare Lastvielfache mit abnehmender Geschwindigkeit nun wieder ab, bis wir am Punkt F die Minimalgeschwindigkeit im Rückenflug erreicht haben. Darunter ist kein stationärer Rückenflug mehr möglich und die größte dabei auftretende Belastung dürfte sich beim Aufschlag auf Mutter Erde nach zwei gepflegten Umdrehungen Rückentrudeln einstellen.

Die Auftriebsverteilung

Die Grenzen für das Lastvielfache und die Geschwindigkeit stehen jetzt also auch fest. Bleibt jetzt nur noch die Frage, wo man die Auftriebsbeiwerte für die einzelnen Flügelabschnitte hernimmt. Wer keine Mühe scheut, bemüht das Multhopp-Verfahren. Einige besitzen vielleicht ein entsprechendes Berechnungsprogramm, das die gewünschte Verteilung des Auftriebsbeiwertes entlang der Spannweite ausrechnet. Alle anderen gehen auf Nummer sicher und setzen über die gesamte Spannweite einen konstanten Auftriebsbeiwert an. In der Regel führt diese Vorgehensweise zu höheren Belastungen als jenen, die tatsächlich mal auftreten werden. Vor allem das Biegemoment wird größer ausfallen, da man mit dieser Vereinfachung am Außenflügel zu viel Auftrieb ausrechnet. Die folgenden Skizzen sollen den Unterschied verdeutlichen. Die durchgezogene grüne Linie könnte uns so oder so ähnlich das Multhopp-Programm ausspucken, während die gestrichelte Linie unserer vereinfachten Annahme entspricht.

Vergessen wir nicht, auch an Querruder- und Wölbklappenausschläge zu denken. Wie im rechten Bild dargestellt, zeigt die Auftriebsbeiwertverteilung (und auch die Momentenbeiwertverteilung) im Bereich des Querruders einen Sprung. Zumindest die Zunahme des Profilmomentes bei einem Querruderausschlag sollte man berücksichtigen, wenn man auch bei Höchstgeschwindigkeit noch beherzte Querruderausschläge geben will.

Beispiel

Nach soviel Theorie wollen wir am Ende noch mal das Ganze auf ein praktisches Beispiel loslassen und die Lasten für einen 6m-Segler bestimmen. Alle Werte für dieses Beispiel sind frei erfunden, aber es geht ja nur um die Vorgehensweise. Ich habe einmal folgende Werte angenommen

  • Spannweite: 6m
  • Streckung: 24
  • Flügelfläche: 1,48m²
  • Gesamtmasse: 10 kg (6 kg Rumpf inkl. Flügelsteckung + 2 kg pro Flügel)
  • Flächenbelastung: 68 g/dm²
  • CA-max: 1,1

Der angenommene Flügelgrundriss ist ein 4-fach Trapezflügel mit gerader Hinterkante und im Außenbereich zurückgepfeilter Vorderkante. Also alles drin, was die Sache kompliziert machen könnte, inklusive einer geknickten l/4-Linie.

Das Ganze soll ein Segler werden, der in der Thermik und am Hang geflogen wird und mit dem einfacher Kunstflug möglich sein soll. Brutalo-Wenden oder F3-B-mäßige Hochstarts sind nicht vorgesehen.

Als erstes legen wir die Eckpunkte des V-n-Diagramms fest. Für den Punkt A, bis zu dem der Flieger in der Luft unkaputtbar sein soll, wählen wir eine Geschwindigkeit von 40 m/s (entspricht 144 km/h). Bei einem angenommenen CA-max von 1,1 ergibt sich aus der Auftriebsformel bei dieser Geschwindigkeit ein maximal möglicher Auftrieb von 1599 N, was dem 16,3-fachen der Gewichtskraft von 98 N entspricht. Das Lastvielfache beträgt an diesem Punkt also 16,3.

Die Höchstgeschwindigkeit wird auf 55 m/s begrenzt, das sind immerhin knapp 200 km/h. Beim Lastvielfachen begnügen wir uns bei Höchstgeschwindigkeit mit einem Wert von 14,0. Dieses Lastvielfache wird bei einem Auftriebsbeiwert von 0,5 erreicht. Den zugehörigen Auftriebsbeiwert zu einem gegebenen Auftrieb (hier: 14-fache Gewichtskraft) erhalten wir durch Umstellen der Auftriebsformel.

Im Rückenflug begrenzen wir das maximale negative Lastvielfache auf -12 G, was einem Auftriebsbeiwert von CA = -0,43 entspricht. Bei starker Turbulenz sollten wir also nicht zuviel Gas geben und brutale Kunstflugeinlagen bei Höchstgeschwindigkeit vermeiden. Wenn wir am Punkt C und D des V-n Diagramms das selbe Lastvielfache zulassen, brauchen wir uns um den Punkt D nicht weiter kümmern, da die Belastung bei Höchstgeschwindigkeit auf jeden Fall größer sein wird. Was noch fehlt, ist der Momentenbeiwert. Wir hoffen, dass das Profil sich mit der Theorie auskennt und einen konstanten Momentenbeiwert besitzt, den wir mit cm = -0,1 aus der Profilpolare ablesen. Soweit haben wir alle Daten für die Eckpunkte des V-n-Diagramms beisammen.

Bevor wir jetzt mit der Berechnung der Lastverteilung entlang der Spannweite beginnen, müssen wir uns noch eine Massenverteilung für den Flügel ausdenken. Wir wählen den pragmatischen Weg und verteilen die Masse einfach entsprechend der Flügelfläche: ein Flügelabschnitt, der 5% der Gesamtfläche des Flügels hat, hat dann auch 5% der Gesamtmasse des Flügels. Die Schwerpunkte der Abschnitte legen wir überall bei 40% der Flügeltiefe fest.

Jetzt können wir endlich loslegen, indem wir zunächst den Flügel in 20 gleich breite Abschnitte (je 0,15 m) einteilen und für jeden Abschnitt die Querkraft q aus dem Teilauftrieb und dem Gewicht und das Torsionsmoment mT berechnen und anschließend zur resultierenden Gesamtbelastung summieren. Schauen wir uns die Zwischenergebnisse für den Punkt A des V-n Diagramms einmal in den ersten 5 Flügelabschnitten an:

Wenn wir mit den Berechnungen in allen 20 Flügelabschnitten fertig sind, erhalten wir folgende Ergebnisse:

Respekt! An der Flügelwurzel wirkt die selbe Querkraft und das selbe Biegemoment, das ein 50 kg Zementsack an einem 1,40 m langen Hebelarm hervorrufen würde. Die Querkraft und das Biegemoment erreichen bei diesem Lastfall ihren Maximalwert. Wenn wir die Rechnungen für den Punkt C des V-n Diagramms wiederholen, werden wir merken, dass zwar das Biegemoment kleiner ist, aber in diesem Flugzustand der Maximalwert des Torsionsmomentes erreicht wird. Hier erhalten wir einen Maximalwert von 80 Nm an der Flügelwurzel, da die hinter dem Neutralpunkt angreifende Gewichtskraft bei negativen Lastvielfachen ebenfalls ein kopflastiges Moment hervorruft. Das ist knapp das 6-fache des Torsionsmomentes beim Lastfall A. Es reicht also nicht aus, nur einen einzigen Flugzustand zu betrachten, wenn man sicher gehen möchte, die maximalen Belastungen aller möglichen Flugzustände berücksichtigt zu haben. Wenn man sich ein paar Minuten Zeit nimmt, um zu überlegen, unter welchen Bedingungen die einzelnen Komponenten der Lasten ihren Maximalwert erreichen, kann man sich einiges an Rechenarbeit ersparen.

Jetzt bleibt mir nur noch, viel Spaß beim Rechnen zu wünschen. Da ich davon ausgehe, dass dieser Artikel nicht nur Fragen geklärt, sondern auch einige neue Fragen aufgeworfen hat, möchte ich noch etwas in eigener Sache loswerden: Ich übernehme keine Haftung für Schäden, die infolge der Anwendung des vorgestellten Verfahrens auftreten!

Im nächsten Teil wird es um die Beanspruchung im Flügel gehen, die sich infolge der äußeren Lasten einstellt. Schaut also wieder rein, wenn ihr wissen wollt, was der Zementsack mit der Flügelsteckung anstellt und es heißt: "Was ist eigentlich Schub?"

 

Stand: 31.03.2003